Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika matematika fanlar fakulteti

3- teoremaga teskari bo'lgan teoremaga ko‘ra
= a + b = + bo’lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Matematik induksiya usulidan foydalanib, chekli sondagi ketma-ketliklar yig‘indisining limiti bu ketma- kelliklar limitlarining yig‘indisiga teng bo‘lishini isbotlash mumkin.
2-teorema. Agar {a_n} va {b_n} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda {a_n b_n} ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi va = bo‘ladi.
I s b o t . lim an = a, lim bn = b b o ‘lsin. 3- teoremaga ko‘ra: a_n=a+a_n va b_n=b+p_n tengliklarga ega bo'lamiz. Bu yerda {a_n} va { } cheksiz kichik ketma- ketliklar. Oxirgi tengliklarni hadlab ko‘paytirib, = ab + ( ) ga ega bo‘lamiz.
2-teorema. cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi.
Bundan:

Matematik induksiya usulidan foydalanib, chekli sondagi yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ko‘paytmasining limiti ular limitlarining ko‘paytmasiga teng b o ‘lishini isboliashimiz mumkin.
l-natija. 0 ‘zgarmas k o ‘paytuvchini limit belgisi oldiga chiqarish mumkin: .
I s b o t . 2-teoremaga ko‘ra:

2-natija. Agar {a_n} va {b_n} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda{ a_n – b_n } ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va = .
I s b o t . 1 -teoremaga ko‘ra:

1- natijani e ’tiborga olsak,
.
kelib chiqadi.
3-teorema. Agar{a_n} va {b_n} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lib, va bo‘Isa, u holda ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi va bo ‘ladi.