Непрерывность функции действительной переменной

Пример 5. Пусть Подобрать числа и так , чтобы функция была непрерывной ; построить её график (Ответ: - 1, ).



Пример 6. Функция разрывна, поскольку при функция не определена, а , . Следовательно, точка является точкой разрыва второго рода.
Пример 7. Разрыв второго рода в точке имеет функция . В данном случае не существуют правосторонний и левосторонний пределы функции.


5.3. Непрерывность суммы, произведения, частного
непрерывных функций, сложной и обратной функций


Теорема 1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , также непрерывны в точке (частное – при условии ).
Действительно, пусть функции и непрерывны в точке и ее окрестности. Докажем непрерывность функции , т.е. справедливость равенства .


.
Поскольку функции и непрерывны в точке и ее окрестности, т.е. , , то и .
Теорема 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция также непрерывна в точке .
Доказательство. Пусть и фиксирована произвольным образом окрестность точки . Тогда в силу непрерывности функции в точке существует такая окрестность , что, если , то . Далее, в силу непрерывности функции в точке , существует такая окрестность , что если , то функция определена в этой точке и . Следовательно, для этой точки определена и функция , причем выполняется включение , где , а значит, , откуда и вытекает непрерывность сложной функции .
Теорема 3. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на промежутке и , тогда обратная функция также непрерывна и монотонна на промежутке .
Доказательство. Пусть для определенности функция строго возрастает на множестве . Докажем, что обратная функция однозначна. Допустим противное. Пусть существует такая точка , что множество содержит по крайней мере две точки и : и , , и, следовательно, . Для двух чисел и , справедливо одно из двух неравенств: или ; в первом случае в силу строгого монотонного возрастания функции имеем , а во втором , т.е. в обоих случаях равенство не выполняется. Таким образом, для каждого множество состоит в точности из одной точки, т.е. функция однозначна.
Теперь докажем, что функция строго возрастает на множестве . Пусть , , и пусть , .Следовательно, , . Для любых двух чисел и справедливо одно из трех соотношений: либо , либо , либо . Если или , то соответственно было бы ( в силу строго монотонного возрастания функции ) или (в силу однозначности), что противоречило бы неравенству , , . Таким образом, из этого неравенства следует, что , а это и означает строгое возрастание функции на множестве .
Замечание. Теоремы 1, 2 и 3 дают лишь достаточные условия непрерывности суммы, произведения, частного функций и сложной функции.