Непрерывность функции действительной переменной

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если для любой окрестности точки существует окрестность точки такая, что для всех .
Определение 4. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к значению .
Приращением аргумента в точке называется разность , разность называется приращением функции.
Пусть функция определена в некотором интервале (рис.4). Возьмем произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента в точке и обозначается . Отсюда .Разность значений функции называется приращением функции f(x) в точке и обозначается или .




Определение 5. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое приращение функции , т. е.
.
Покажем, что это определение эквивалентно первому определению непрерывности функции. Для этого рассмотрим детальнее предыдущее определение.
.
Воспользовавшись тем, что предел постоянной есть сама постоянная, получим
.
Тогда функция , определенная в точке и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции точке . Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента
Пример 3. Докажем непрерывность функции во всех точках .