Непрерывность функции действительной переменной

Теорема 7. Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях аргумента , для которых они определены.
Следствие. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.


5.2. Классификация точек разрыва.

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции. Существуют следующие типы точек разрыва.

Устранимый разрыв. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке (рис. 50, а).
а) б) в)
Рис. 50


Пример 1. Функция в точке , как известно, имеет предел равный единице. Однако в самой точке эта функция не определена, этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, тогда функция будет непрерывной на всей числовой оси.
Разрыв первого рода. Точка называется точкой разрыва 1-го рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы (рис. 50, б).
Пример 2. Для функции точка является точкой разрыва первого рода, так как , а .
Разрыв второго рода. Точка называется точкой разрыва 2-го рода функции , если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен (рис. 50, в).
Пример 3. Для функции точка является точкой разрыва 2-го рода, поскольку .
Пример 4. Для функции точка является точкой разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Например, функция разрывна, поскольку при функция не определена (рис. 6), а , . Точка является точкой разрыва второго рода.

Для функции (рис. 7) точка является точкой разрыва второго рода, поскольку , .

Еще одним примером точки разрыва второго рода является точка для функции . В данном случае не существуют правосторонний и левосторонний пределы функции.