Некоторые сведения из теории уравнения с частными производными

4.2 Хусусий ҳосилади дифференциал тенгламалар типи

Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларни кўпгина ҳолатлари бўйича классифициялаш мумкин. Классификациянинг муҳимлиги шундаки, ҳар бир синф учун алоҳида ўзининг назарияси ва тенгламаларни ечиш усули борлигидир. Қуйида биз классификациянинг олтита усулини келтирамиз:

1. 
   Тенгламалар тартиби. Тенгламалар тартиби деб, хусусий ҳосилали енг юқори тартибли дифференциал тенгламаларга айтилади. Мисол учун, ночизиқли масалалар линиаризация усулидир. Ўз навбатида, регуляр ва сингуляр бўлган чизиқли ва ночизиқли қўзғалиш назарияси, қўзғалишнинг умумий назарияси ҳисобланади. Бу усул маҳсус масалалар учун ишлатилади, яъни масаларда функционал ифодаларнинг мавжудлик шартларидир. Масалан,
   

(биринчи тартибли тенглама),
(иккинчи тартибли тенглама),
(учинчи тартибли тенглама).

2. 
   Сонли ўзгарувчилар. Сонли ўзгарувчиларга боғлиқ бўлмаган ўзгарувчилар дейилади. Масалан,
   

( ва икки ўзгарувчили дифференциал тенглама),
( уч ўзгарувчили дифференциал тенглама).

3. Чизиқлилик. Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар чизиқли ва ночизиқли бўлади. Боғлиқ ўзгарувчилар ва барча чизиқли бўлган хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар бир бирларига кўпайтирилмайди, квадрат илдизга кўтарилмайди ва ҳоказо амаллар чизиқли хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар устида бажарилмайди. Қуйидаги дифференциал тенгламалар иккинчи тартибли икки ўзгарувчили чизиқли дифференциал тенгламаларга мисол бўлади,

, (4.1)

бу ерда, ва – константа ёки ва боғлиқ бўлмаган ўзгарувчили берилган функиялардир. Масалан,

(чизиқли дифференциал тенглама),
(ночизиқли дифференциал тенглама),
(чизиқли дифференциал тенглама),
(ночизиқли дифференциал тенглама).

4. Бир жинсли. (4.1) дифференциал тенглама бир жинсли дейилади, агар барча ва ўзгарувчилар учун ўнг томонидаги муносабат нольга тенг бўлса. Агар муносабат нольдан фарқли бўлса, бир жинсли бўлмаган дифференциал тенглама дейилади.

5. Коэффицент турлари. Агар (4.1) дифференциал тенгламанинг ўзгармаслари A, B, C, D, E, ва коэффицентлар бўлса, у ҳолда бу дифференциал тенглама ўзгармас коэффицентли дифференциал тенгламалар дейилади (акс ҳолда ўзгарувчи коэффицентли дифференциал тенгламалар дейилади).

Чизиқли дифференциал тенгламаларнинг уч асосий типи. Барча (4.1) дифференциал тенглама кўринишидаги хусусий ҳосилали иккинчи тартибли чизиқли дифференциал тенгламалар шу уч типларнинг бирига тегишлидир: а) параболик, б) гиперболик, в) эллиптик.
(4.1) дифференциал тенгламанинг коэффиценти , ва коэффицентларга умуман олганда боғлиқдир. Агар коэффицент ўзгарувчиларга боғлиқ бўлмаса, у ҳолда бу доимий коэффицентли чизиқли дифференциал тенгламадир. Агар га чизиқли боғлиқ бўлса, қолган коэффицентлар га боғлиқ бўлмас, у ҳолда бу дифференциал тенглама ўзгарувчи коэффицентли чизиқли дифференциал тенгламадир. Агар коэффициент га боғлиқ бўлса, ҳолда (4.1) дифференциал тенглама квазичизиқли дейилади.
Агар , лекин ҳамда нольдан фарқли бўлса, у ҳолда бу дифференциал тенглама биринчи тартибли ва кўчиш тенгламаси дейилади.
Юқорида санаб ўтилган турли физик жараёнларни ифодаловчи дифференциал тенглама, бир биридан мавжудлик бўйича фарқ қилади. Шунинг дек, бу дифференциал тенглама типлари учун масаланинг тўлиқ қўйилиши ўз муҳим томонларига эга.
Шуни таъкидлаш лозимки, ўзгарувчан коэффицентли дифференциал тенгламалар соҳанинг турли нуқталарида турли типларга эга. Амалий ҳисоблашларда бундай ҳолларга тез - тез дуч келамиз, булар назарий исботни топмаган бўлса ҳам. Демак, масаланинг қўйилишини тўлиқ ифодалаш ва унинг корректлилиги кўрсатиш осон бўлмайди.
Параболик тип. Параболик типли дифференциал тенгламалар иссиқлик ўтказувчанлик ва диффузия, фильтрация ва ҳоказо жараёнларни ифодалайди. Шунинг дек, муносабатни баҳолайди.
Гиперболик тип. Гиперболик типли дифференциал тенгламалар система тебранишини ва тўлқин ҳаракатини ифодалайди. Шунинг дек, муносабатни баҳолайди.
Эллиптик тип. Эллиптик типли дифференциал тенгламалар ўрнатилган жараёнларни ифодалайди ва муносабатни баҳолайди.
Мисоллар
а) (параболик),
б) (гиперболик),
в) (гиперболик),
г) (эллиптик),
(эллиптик шарт бажарилса),
д ) (параболик шарт бажарилса),
(гиперболик шарт бажарилса).


(Ўзгарувчан коэффицентли тенглама типлари нуқтадан – нуқтага ўтиш ҳолатида ўзгаради.)