Некоторые сведения из теории уравнения с частными производными

4.4.3 Ночизиқли моделлар

Чизиқли масалаларнинг асосий хусусияти уларни текшириш ва ҳисобланиши шундаки, суперпозиция принципи бажарилишидир. Демак, иккита чизиқли тенгламаларнинг йиғиндиси - яна ечим ҳисобланади, ҳамда иҳтиёрий сонга кўпайтмаси ҳам тенгламани қаноатлантиради. Чизиқли масалаларнинг ечими, иҳтиёрий сонларнинг йиғиндисининг ҳисобланиши ҳодисадир. Бу хусусий, оддий ва яхши маълум бўлган ечимлар йиғиндиси шаклида чизиқли масалаларнинг умумий кўринишини ифодалаш имконини беради. Ночизиқли тенгламага суперпозиция принципи, ҳамда йиғинди шаклидаги ғоялар, чизиқли ҳодисалар учун яхши қўлланиладиган ҳолатлар ҳам ноўриндир. Шунинг учун, ночизиқли масалалрни текширишнинг янги усулларини аниқлашга тўғри келади.

Геометрик шакллардан фойдаланиб, чизиқли масалаларнинг айрим ғояларини том маънода - иҳтиёрий қисмлари орқали бутун чизиқни ҳосил қилиш мумкин. Агар эгри чизиқ етарлича ўйланган кўринишга эга бўлса, ечимни топиш керакли натижаларни бермайди. Демак, ночизиқли масалаларни текшириш ва ҳисоблашлар катта қийинчиликлар туғдиради. Анъанавий аналитик усул, яъни ечимнинг суперпозицияси, Грин усулининг эквивалентли интеграл тенгламага келтирилиши (ярим чизиқли ҳолати мисолида) бу ерда бажарилмайди. Айрим ҳолларда аналитик ечимлар ночизиқли муаммолар ягоналиги билан ажралиб туради, яъни фақатгина усулларни ҳисоблаш билан чекланамиз. Замонавий фан ва техника ютуқлари ночизиқли масалаларни математик модели запт этади. Бу ҳолатнинг муҳимлиги шундаки, тадқиқот ҳисоблашларнинг ҳозирги кунда амалий масалаларнинг ягона текшириш назариясига ўтказилишидир.