Некоторые сведения из теории уравнения с частными производными

4 Боб. Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларнинг баъзи бир назарий маълумотлар


Кўплаб физикавий ҳодисалар жумладан суюқликлар харакати, электр ва магнетизм, механика, оптика, иссиқлик ўтказувчанлик кабилар умумий тарзда хусусий ҳосилали тенгламалар билан ифодаланади(ХҲТ).
Шунингдек математик физиканинг тенгламалари, оптика, квант механикаси, физикавиё-кимё- буларнинг барчасида хусусий ҳосилали тенгламалар қўлланилади.
Аниқроқ айтадиган бўлсак, масалар бир қанча соддалаштиришлар сўнг оддий дифференциал(автомодель) тенгламаларга олиб келинади, бироқ бундай тизимларни тўлиқ ифодалаш учун хусусий ҳосиларни қўллашга тўгри келади.
Хусусий ҳосилали тенгламалар – бу таркибида хусусий ҳосила иштирок этган тенгламадир.
Улар оддий дифферециаль тенгламалардан фарқли ўлароқ маълум битта эмас бир нечта ўзгарувчиларга боғлиқ бўлади, (масалан, х- масофа, t- ҳарорат).
Хусусий ҳосилали баъзи тенгламалар(иссиқлик тарқалишининг бир ўлчовли тенгламаси), (иссиқлик тарқалишининг икки ўлчовли тенгламаси), (Поляр координаталаридаги Лаплас тенгламаси), (Уч ўлчовли тўлқин тенгламалари), (телеграф тенгламаси), (трехмерное волновое уравнение).
Хусусий ҳосилали тенгламаларни ечишнинг бир неча усуллар келтирилган.
Сўнгги йиллардаги хусусий ҳосилали тенгламаларнинг тадқиқи қилишнинг кучли даражадаги ривожланиши автомодель ва тақрибий автомодель усулларининг яратилишига сабаб бўлди.
Улар квазичизикли тенгламаларнинг кенг турдаги синфини ечишда кўлланилиши исботланди.


4.1 Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар ва уларнинг баъзи бир ҳисоблаш усуллари

Кўпгина физикавий ҳодисалар, жумладан: суюқлик динамикасида, электр ва магнитизм, механика, оптика, иссиқлик ўтказувчанлик умуман олганда хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар (ХҲТ) ёрдамида тавсифланиши мумкин. Математик - физика, оптика, квант механикаси, физик кимёлардаги аксар тенгламалар хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалардир. Баъзи бир соддалаштирувчи фаразлар натижасида бу тенгламалар оддий дифференциал тенгламаларга келтирилиши мумкин, бироқ тизимни тўла тавсиқлаш албатта хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалардан фойдаланишга олиб келади.

Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар - бу хусусий ҳосилаларни ўз ичига олган хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларидир. Оддий дифференциал тенгламаларда номаълум функция битта ўзгарувчига боғлиқ бўлса, хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларда номаълум функция бир қанча ўзгарувчиларга боғлиқ бўлади (масалан, ҳарорат функция фазовий координата ва вақтга боғлиқ).
Қуйида баъзи бир энг муҳим хусусий ҳосилали тенгламаларни келтирамиз. Ёзувларни соддалаштириш мақсадида, қуйидаги белгилашлардан фойдаланамиз:



Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар:
(бир ўлчовли иссиқлик ўтказувчанлик тенглама)
(икки ўлчовли иссиқлик ўтказувчанлик тенгламаси)
(Қутуб координатасида Лаплас тенгламаси)
(уч ўлчовли тўлқинли тенгламалар)
(телеграф тенгламаси)
Дифференциаллаш қайси ўзгарувчи бўйича амалга оширилса, у боғлиқмас ўзгарувчи ёки аргумент дейилади. Масалан, тенгламада боғлиқ ўзгарувчили функция иккита x ва t боғлиқ бўлмаган ўзгарувчиларга эга, лекин



тенгламада ўзгарувчи ўзгарувчиларга боғлиқ.
Ҳозирги вақтда, табиатнинг кўпгина ҳодисаларини ночизиқли дифференциал тенгламалар орқали ифодаланмоқда, лекин, ҳодисаларнинг математик моделини, дифференциал тенгламалар орқали ифодалашни билиш муҳимдир. Кўпгина, физикавий табиат қонуниятлари хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар тилида ифодалаш мумкин. Масалан қуйидаги дифференциал тенгламаларни келтириш мумкин: Максвелли дифференциал тенгламаси, Ньютоннинг иссиқлик алмашиш қонунияти, Навье - Стокс дифференциал тенгламаси, Ньютоннинг ҳаракат тенгламаси, квант механикасида Шрёдингер тенгламаси. Бу масалалар фазовий ва ҳарорат ҳосилалари орқали ифодаланади. Дифференциал тенгламадаги ҳосилалар муҳим физикавий катталикларни (яъни, тезлик, тезланиш, куч, тебраниш, оқим ва ҳоказо) ифодалайди. Шундай қилиб, аниқланиш лозим бўлган хусусий ҳосилали тенгламалар ҳосил бўлади. Хусусий ҳосилали тенгламаларни қандай ҳисоблаш мумкин? Математик модель тузилгандан сўнг, бу моделни қандай текшириш мумкин деган савол пайдо бўлади, ночизиқли жараёнларни ифодаловчи дифференциал тенгламаларни қандай ҳисоблаш керак?
Ҳозирги вақтда чизиқли дифференциал тенгламалар назарияси етарлича яхши ишланган. Ҳисоблашнинг жуда кўп усуллари мавжуд. Шунинг дек, ҳисоблашлар орқали топилган аналитик кўринишдаги ечимлар, мундарижа кўриниши нуқтаи назаридан ечим таҳлили сифатли бўлмаганлиги учун етарли эмаслиги аниқланди. Ҳодисаларни автомодел ва келтирилган автомодел муҳим усуллари, таркибий - инвариант усуллари, Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларни оддий дифференциал тенгламаларга келтирилади.
Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларни ечиш усулларини келтирамиз:

1. 
   Ўзгарувчиларни ажратиш усули. та боғлиқ бўлмаган ўзгарувчили хусусий ҳосилали тенгламалар, та оддий дифференциал тенгламаларга келтирилади. Бу усул фақатгина чизиқли тенгламалар учун.
   
2. 
   Интегралларни алмаштириш усул. n та боғлиқ бўлмаган аргументли хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар, боғлиқ бўлмаган аргументли хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларга келтирилади; Шунинг дек, икки боғлиқ бўлмаган аргументли хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар оддий дифференциал тенгламаларга келтирилади. Бу усул фақатгина, асосан, оддий дифференциал тенгламаларга кўлланилади.
   
3. 
   Координата ўқларини алмаштириш усул. Берилган хусусий ҳосилали тенглама оддий дифференциал тенгламага тенгланади ёки бошқа, содда хусусий ҳосилали тенглама ҳосил бўладиган координатага боғлиқ (масалан, координата ўқларини буралиши ва ҳ.к.).
   
4. 
   Боғлиқ ўзгарувчиларни алмаштириш. Берилган хусусий ҳосилали тенглама, бошқа номаълум функцияга нисбатан соддароқ бўлган тенгламаларга нисбатан осон ечиладиган хусусий ҳосилали дифференциал тенгламага келтирилади. Бундай усул, ВКБ усул ёки эталон тенгламалар усули усули дейилади.
   
5. 
   Сонли усуллар. Берилган хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар айирмали тенгламалар системасига келтирилади. Компьютерда итерация усулида ҳисобланади. Бу усул кўпгина ҳолларда, хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларни ҳисоблашнинг ягона усули ҳисобланади. Бу ўзгарувчиларни тўлиқ бўлаклаш ҳолати. Айрим ўзгарувчилар бўйича бўлакланганда битта хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар бир нечта камроқ сондаги боғлиқмас ўзгарувчили хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларга келтирилади.
   
6. 
   Назариянинг қўзғатилган усули. Берилган ночизиқли масалалар чизиқли масалар, яъни ночизиқли масалаларни аппроксимациялашга келтирилади.
   
7. 
   Грин функцияси усули. Бошланғич ва чегаравий шартлар содда манба тизими билан алмаштирилади ва ҳар бир содда манба масаласи учун ечилади. Берилган масаланинг умумий ечими элементар манбалар учун ечимлар йиғиндиси натижасида ҳосил бўлади.
   
8. 
   Интеграль тенгламалар усули. Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар, эквивалент интеграли тенгламаларга келтирилади (номаълум функция интеграль остида қатнашувчи тенглама). Бу ярим чизиқли дифференциал тенгламалар учун. Интеграл тенгламаларни ҳисоблашнинг турли ҳил усуллари мавжуд.
   
9. 
   Вариацион усул. Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар ўрнига айрим минимизация масалалари ечилади. Айрим ифодаларга минимум берувчи функциялар (тўлиқ қувватли система типлари, ҳамда берилган хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларнинг ечимлари бўлади).
   
10. 
    Шаҳсий функцияларга ёйиш усули. Хусусий ҳосилали чизиқли дифференциал тенгламалар шаҳсий функциялар қатори кўринишида ечилади. Бу шаҳсий функциялар, берилган масалага ўхшаш хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар учун шаҳсий қийматлар бўйича топилади.
    
11. 
    Автомодел ва келтирилган автомодел усули. Оҳирги йилларда ночизиқли дифференциал тенгламаларни автомодел текшириш келтирилган автомодел усули деб номланди. Квазичизиқли тенгламаларнинг кенг синфлари учун кераклиги исботланди.