Nazariy mexanika

§. Moddiy nuqta tezlanishini tabiiy usulda aniqlash

T
a



. . - dV - voki a = —— t ' dt



dj_

ds di '


(38.1)

ezlanishni tabiiy usulda aniqlash uchun (36.2) dan vaqt bo’yi- cha hosila olamiz:

1. 
   dagi ^ ning miqdori va vo'nalishini aniqlash uchun uni quyidagicha yozamiz:
   

58

^lim 77 ’

As —> 0

bu ycrda At trayektoriyadagi bir-biriga yaqin bodgan A/_n va A/, nuqtalardan odkazilgan urinmalar birlik vektorlarining ayirmasi (75-rasm, a).

|i₀| = |t|| = 1 bodgani uchun t, t, va At lardan tashkil topgan

uchburchak tengyonli bodadi (75-rasm, b)\ bu uchburchakdan:

. AO |At| sm_T = -_r

A/, ni A/₀ ga juda yaqin deb qarasak, A0 juda kichik bodadi. Bu holda sin-^- ni ~ bilan almashtirish mumkin, ya’ni:

— = — voki AO = |A"f|.

A
Natijada: di
t AO dO , , ■ A0 1 _

=
ds

dt

Is


v ^Ai


lim —= lim — = —r - k y°ki Inn —— (38.2) A.s ->0 ^Vv As ►() ^{Vs ds} \s->() ^Vs P

kelib chiqadi. p — egrilik radiusi, k — chiziqning egriligi. — vektor t ga perpendikular, haqiqatan ham t ning kvadrati birga teng:

(d)² 1 ■

Bu tenglikdan vaqt bo^Lyicha hosila olamiz:

2t ■ — = 0. (38.3)

dt

Matematikadan madumki, t bilan — perpendikular bodgan holda (38.3) to'g'ri bodadi. Demak,

dz_

~dt

dt

_ ,. di V -

n voki —r = —n. dt p

(38.4) ni (38. l)ga qo'ysak:

- dV „ V­a - —t + —n .

dt p

(38.5)

Moddiy nuqta tezlanishining tabiiy koordinata o'qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda a.. a_ir a_h desak,

a - a_Tx + a_nii + a_hb (38.6)

boMadi. (38.5) bilan (38.6) ni solishtirsak:

dV I _n

⁼ IF' ⁼ “ °^{h =} ° (38.7)

kclib chiqadi.

(38.7)dan foydalanib, toMa tezlanishni aniqlash mnmkin:

cr - a: + a:

(38.8)

voki




76-rasm.

a = ,Ja: + a] ■ (38.9)

Lirinma tezlanish d_r bilan normal

I a. \

tezlanish d„ orasidagi burchak tgp = -—

bilan aniqlanadi (76-rasm).

Agar moddiy nuqta harakati koordi­nata usulida berilib egrilik radiusini aniq­lash talab etiladigan bo’lsa, tezlik ifodasi- ni Dekart koordinata o'qlaridagi proyek- sivalari orqali yozamiz:

I - V- + V- + V: •

(38.10) dan vaqt bo'yicha hosila olsak:

2V— - 2 V —l. + 2 V —- + 2 V.

dt ^A dt ' dt - dt

(38.10)

bu verdan

Va, ~ V, a, + K.tf,. + V-Q.

yoki

kelib chiqadi.

r I \.a_v ‘ V.C1-

(38.11)



(38.8) ga asosan:

a_n = sja² - a² , (38.12)

r
bundan

(38.12) ni (38.7) ning
i i r

a - yja~ + a; + a: .

ikkinchisiga qo'ysak, chiziqning egrilik radiusi

V² V<sup>2

p =</sup> — ⁼ TT=r (38.13)

"» sja- -a:

kelib chiqadi.

36. 
    §. Moddiy nuqta harakatining xususiy hollari
    

Moddiy nuqta harakatining xususiy hollari (38.5) formuladan foydalanib aniqlanadi.

1. 
   Agar nuqta harakati davomida d = 0, ya’ni a_x = 0, a_n = 0 d V V "
   

bo'lsa, -— = 0, — = 0 bo'ladi. Bundan (/=const, p=x kelib chiqa-

dt p

d

2. Agar d_r 0, d„ = 0 bo‘lsa, nuqta tezligining yo'nalishi

ds


o'zgarmas bo'lib, moduli V =


dr


bo'ladi; p=x. Bu holda nuqta


harakati to'g'ri chiziqli o'zgaruvchan harakatdan iborat.

i. Bu holda nuqta harakati to'g'ri chiziqli tekis harakatdan iborat bo'ladi.

V ~ .

3. Agar d_r =0 bo'lib, a„ =— ? 0 bo'lsa, l^/=const bo'ladi.

p

Natijada moddiy nuqta egri chiziqli tekis harakatda bo'ladi.

Nuqtaning boshlang'ich vaqtdagi tezligi V₍₎. egri chiziqli koordi- natasi s = s_{l bo'lsin.

Bularni nazarda tutib, (38.7) ning birinchisini integrallasak:

s = s_n+V₀f . (39.1)

kelib chiqadi.

1. 
   tenglama moddiy nuqtaning egri chiziqli tekis harakati tenglamasi deb ataladi.
   

4. 
   Agar a, * 0, a„ * 0 bo'lsa, nuqta harakati egri chiziqli o'zgaruvchan harakatdan iborat bo'ladi. a =0 bo'lgan hoi tekis o'zgaruvchan harakat deyiladi. Boshlang'ich paytda s = s₀, V = V₍₎ deb. (38.7) ning birinchisini integrallaymiz:
   

^ = o_r, V = a_Tt + V_{). (39.2)

di

2. 
   ni yana integrallasak:
   

s - ±a_l.^t— + V_{)t + s₀ ■ (39.3)

Moddiy nuqta harakati tekis tezlanuvchan bo'lsa, (39.3) dan a_x oldidagi musbat ishora; sekinlanuvchi bo'lsa, minus ishora olib masala hal etiladi.

36. 
    §. Moddiy nuqta harakati koordinata usulida berilganda uning trayektoriya tenglamasi, trayektoriya bo‘yicha tenglamasi, tezlik va tezlanishini aniqlash
    

Moddiy nuqta harakati koordinata usulida berilganda talab eti- ladigan kinematik elementlar quyidagi tartibda aniqlanadi:

1. 
   Moddiy nuqtaning trayektoriya tenglamasini aniqlash uchun
   

2. 
   dan vaqt chiqarib tashlanadi.
   

2. 
   Trayektoriya bo'yicha tenglamasini aniqlash uchun (32.2) dan vaqt bo'yicha hosila olinib, (33.4) ga qo'yiladi.
   
3. 
   (35.3), (35.4) va (35.5) dan foydalanib tezlik aniqlanadi.
   
4. 
   (35.8), (35.9) va (35.10) ga asoslanib tezlanish topiladi.
   
5. 
   Tezlik va tezlanish yo'nalishlari travektoriyada koTsatiladi. 12-masala. Moddiy nuqta harakati
   

-v =\(e' + e '),

1 / ! i ,

■^v =2^(e ~^e ) (40.1)

tenglamalar bilan berilgan (.v, y — metr, r — sekund hisobida).

N uqtaning trayektoriya tcnglama- si. sluiningdek t= 1 sekunddagi nuqta tezligi hamda tezlanishi topilsin, yo'nalishlari travektoriyada ko'rsatilsin.

Yechish.Trayektoriya tenglamasi­ni aniqlash uchun (40.1) ni kvadratga ko'tarib ayiramiz:

.v )' ⁼ I ■ (40.2)

2. 
   formula a—1, y=0 nuqta- dan boshlanadigan giperbola o'ng tarmog'ining yuqori qismidan iborat (77-rasm).
   

t = 1 sekundda: a = 1,54 m. y = 1.18 m.

Nuqta tezligini aniqlash uchun (40.1) dan vaqt bo'yicha hosila olamiz:

x = — (e' - e ') , y = ~(e‘ + e~’) .

2 2

t= 1 sekundda x = Ue - = 1(2,7183 - 1,3679) = 1,18 m/s,

_V =i(g + I) = 1,54 m/s,

V = Vx² + y² ; V = 71,3924 + 2,3716 = 1,94 m/s,

cos(K^A,7) = = Hi = 0,61, cos( V '. / ) = 0,7938;

(P^AJ) = 52°25'; [V^j) = 37°27'

Tezlanish quyidagicha boMadi:

a_y - ^-(e' + ), o_v = -Ue' - e ' ).

f = I sekundda: a_x = 1,54; a — 1,18; a = 1,94 m/s². cos(«^A,/) = 0,7938, cos(#//) = 0,61; (a^J) = 37°27'; (A,y) = 52°25'.

Tezlik va tezlanishlar yo'nalishlari 77-rasmda ko'rsatilganidek bodadi.

13-masala. Moddiy nuqta harakati

a* e'cos/, y = e'sinr. z = e' (40.3)

tenglamalar bilan berilgan. Nuqtaning trayektoriya tenglamasi, trayektoriya bo'ylab harakat qonuni aniqlansin (,v, y, z ~ metr, t — sekund hisobida).

Yechish. (40.3) dan vaqtni yo'qotish uchun z=e‘ ni (40.3) ning birinchi ikkitasiga qcTyamiz:

x — zcost, y = ^sinr.

Bu tenglikning ikkala totnonlarini kvadratga ko'tarib qo'shamiz:

X³ + y² = r yoki A-² + y² -

4. 
   tenglamadan kcbramizki, trayektoriya ikkinchi tartibli doi- raviy konusdan iborat ekan.
   

Nuqtaning trayektoriya bo‘yicha tenglamasini aniqlash uchun

2. 
   dan vaqt bo'yicha hosila olamiz:
   

x = e'cost - e'sin t, y = e'sin t + e'cost. z = e\

b
■ 2 -2 ■¹ x + y + z = he


(40.5)


(40.5) ni (33.4) ga qo'ysak,


!


s = \e^! Sell = Se'


s = \e' Self = Se' (40.6)


(40.6)


undan:

36. 
    §. Moddiy nuqta harakati tabiiy usulda berilganda
    tezlik va tezlanishni topish
    

Tabiiy usulda tezlik va tezlanish quyidagi tartibda aniqlanadi:

1. 
   Tezlik miqdori (36.3) formula yordamida topiladi.
   
2. 
   (38.7) va (38.9) formulalar yordamida tezlanish aniqlanadi.
   
3. 
   Tezlik va tezlanish yo'nalishi rasmda ko'rsatiladi.
   

14-masala. Moddiy nuqta radiusi R= 2 m bolgan aylana bo'ylab

s = 6 + 2i² -r -/³

qonunga muvofiq harakatlanadi (s— metr, t — sekund hisobida). Nuqtaning t = 1 sekunddagi tezligi va tezlanishi topilsin. Yechish. (36.3) formulaga ko'ra:

V— At + f-.

t= 1 sekundda V= 5 m/s.

7. 
   g
   
   
   
   78-rasm.
   
   
   t = 1 sekundda
   
   
   a. = 6 m/s², a_n = zl 12,5 m/s²,
   
   
   tgp = J—tap = 0,48; p = 25°38'.
   
   
   (38.9) dan foydalansak:
   
   
   a = V&² + 12,5- = 13,87 m/s²
   
   a ko'ra: a_T =4 + 21, a„ =
   

kelib chiqadi (78-rasm).

15-masala. Moddiy nuqta radiusi /?bo‘lgan aylana bo‘ylab

1 7

s = V_Qt--kt~ (41.1)

qonunga ko^lra harakatlanadi (5, R — metr, t — sekund hisobida).

Nuqta tezlanishi, shuningdek, tezlanish qanday vaqtda k ga teng bo‘lishi va bu vaqtda nuqta tezligi qanday boiishi aniqlansin. Yechish. (41.1) dan vaqt bo‘yicha hosila olsak:

V= V_{) - kt (m/s).

7. 
   , (38.9) ga asosan:
   

d
(m/s²). a_n = 0 bo'-

V , (Vo-kt? Li (ko-*/)⁴

^a^ir = ^k- ^a'-—ir^L'°=f —jr~

Moddiy nuqta tezlanishi k ga teng boiishi uchun lishi kerak, ya’ni:

V₀ - kt = 0,

b

V =0


undan

kelib chiqadi.

42. 
    §. Moddiy nuqta harakati koordinata usulida berilganda urinma, normal tezlanish hamda egrilik radiusini aniqlash
    

Masala yechish tartibi quyidagicha:

1. 
   Nuqta tezligi (35.3), (35.4) formulalar yordamida aniqlanadi.
   
2. 
   (35.8), (35.9) formulalar yordamida tezlanish topiladi.
   
3. 
   (38.11) dan foydalanib urinma tezlanishi aniqlanadi.
   
4. 
   Normal tezlanish (38.12) dan topiladi.
   
5. 
   Egrilik radiusini aniqlash uchun (38.13) formuladan foydalani- ladi.
   

16-masala. Moddiy nuqta harakati

x = 3/ — 0,2sin( 9,23z), y = 0,325 - 0,2cos(9,23t)

tenglamalar bilan berilgan (.v, y — metr, t — sekund hisobida).

t = 0,0547i sekund bolganda trayektoriyaning egrilik radiusi aniq­lansin.

Yechish. (35.3) va (35.4) ga asosan:

V_x = 3 - 0,2 • 9,23 • cos(9,23/) = 3 - l,846cos(9,23/),

V = 0,2 • 9,23 ■ sin(9,23r) = l,846sin(9,23r).

t = 0,54n sekundda

E =3 m/s, E = 1.846 m/s. V= 3,52 m/s.

8. 
   , (35.9) formulalarga ko'ra:
   

a_x = 1,846 • 9,23 ■ sin(9,23/) = 17sin(9,23r), a, = 1,846 • 9,23 • cos(9,23/)=l7cos(9,23/). t = 0,054ji sekundda

a
14,5 m/s'.


51

331

3 17 532

_x= 17 m/s². a_x = 0, a = 17 m/s². (38.11) dan foydalansak:

Normal tezlanish esa:

a„ = 7289-210,25 = 8,87 m/s². Egrilik radiusini aniqlashda (38.13) dan foydalansak:

1
1.39 m

2.39 ^P “ 8.87

kelib chiqadi.

17-masala. Moddiy nuqta

A' ■-= It,

y = 5t² - 1 (42.1)

tenglamalarga ko'ra harakat qiladi (a, y - metr, t ~ sekund hisobida).

Nuqtaning trayektoriya tenglamasi tuzilsin, r= 1 sekunddagi tez- ligi. tezlanishi hamda egrilik radiusi aniqlansin va ular yo'nalishi trayektoriyada ko'rsatilsin.

Yechish. (42.1) dan vaqt bo'yicha hosila olib, tezlik proyeksiya- lari va tezlik modulini topamiz:

E = 2, V = lOt. (42.2)

t = 1 sekundda

E = 2. E = 10, E = s/4 - 100 = 10,2 m/s.

2. 
   dan hosila olsak:
   

a_x = 0, a_v = 10 m/s², a = 10 m/s².

L rinma tezlanishni aniqlaymiz:

E «, E. a. 2 0+1010 _n0 ,

"■ ' —v—■ "■ = uu =⁹-^{8 m/r}

Normal tezlanish quyidagicha bodadi:

„

a,

= v'100 - 96 = 2 m/s'

Egrilik radiusi esa:

1. 
   d
   an vaqtni yo'qotish uchun mazkur tenglamaning birinchisidan t ni topib, uni (42.1)ning ikkinchisiga qo'ysak, trayektoriya tenglamasi kelib chiqadi:
   

T -1 • (42.3)

2. 
   dan ko'ramizki, nuqta trayek- toriyasi paraboladan iborat. /=1 se- kunddagi barcha kinematik parametr- lar yo'nalishini rasmda ko‘rsatamiz (79-rasm). t = 1 s da nuqta koordina- talari x = 2 m, y = 4 m.
   

? Nazorat savollari

1. 
   Moddiy nuqtaning trayektoriya bo'yicha harakat qonuni yoki tenglamasi deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Moddiy nuqta harakati qanday usullarda beriladi?
   
3. 
   Moddiy nuqta harakati grafigi deganda nimani tushunasiz?
   
4. 
   Nuqtaning berilgan vaqtdagi tezligining yo'nalishi qanday va miq- dori nimaga teng?
   
5. 
   Tckis o'zgaruvchan harakat qonuni va grafigini ta'riflang.
   
6. 
   Moddiy nuqta harakati koordinata usulida berilganda, trayektoriya qanday aniqlanadi?
   
7. 
   Harakatdagi nuqtaning tezlik vektori bilan radius-vektori orasida qanday bog'lanish bor?
   
8. 
   Moddiy nuqta tezlanishi nima? Moddiy nuqta tezlanishi vektori bilan tezlik vektori orasida qanday bog'lanish bor?
   
9. 
   Moddiy nuqta tezlanishi vektori bilan radius-vektori orasida qan­day munosabat bor?
   
10. 
    Tezlik vektorining Dekart koordinata o'qlaridagi proyeksiyalarini yozing.
    
11. 
    Tezlanish vektorining Dekart koordinata o'qlaridagi proyeksiyala­rini yozing.
    
12. 
    Tezlanish yo'nalishi qanday?
    
13. 
    Tezlik va tezlanish yo'naltimvchi kosinuslari qanday aniqlanadi?
    
14. 
    Urinma, normal va to'la tezlanish qanday topiladi?
    
15. 
    Qanday o'qlar tabiiy koordinata o'qlari deyiladi?
    
16. 
    Chiziqning egriligi nima? Egrilik radiusiga ta’rif bering.
    

9. 
   BOB. QATTIQ JISMNING SODDA HARAKATLARI
   

Jismning ixtiyoriy ikki nuqtasi orasidagi masofa o'zgarrnasdan qolsa, u absolut qattiq jism deb ataladi. Keyinchalik qattiqjism de- ganda absolut qattiqjism tushuniladi.

Qattiq jismning sodda harakatlari uning ilgarilama va aylanma liarakatlaridir.

42.