Nazariy mexanika

(*)

(33.1)

(33.2)

(33.3)

(33.4)

v = x(t), y = y(t), z = z(t).

Matematikadan ma’lumki:

ds = \[dx² + dy² + dz² ■

(*) ni vaqt bo'yicha differensiallaymiz:

dx = xdt, dy = ydr, dz = zdr.

2. 
   ni (33.1 )ga qo'ysak:
   

ds = \lx² + y² + z² dt. r= 0 va /=/oraliqda (33.3) ni integrallasak:

s = jVx“ + y² + r dt = s(t)

(i

kelib chiqadi.

Demak, (*) dan foydalanib, nuqtaning trayektoriya bo'yicha tenglaniasini aniqladik. Boshqacha aytganda nuqta harakati koordi­nata usulida berilganda lining tabiiy usuldagi berilishini keltirib chi- qardik.

32. 
    §. Moddiy nuqtaning tezlik va tezlanish vektori
    

Moddiy nuqtaning holati va harakat yo'nalishining o'zgarishini uning tezligi belgilab beradi.

M

M


-C


70-rasni.


oddiy nuqta harakati vektor usulda berilganda tezlik qanday aniqlanishini ko'rib chiqaylik. Aytaylik, t=t_n da tekshirilayotgan nuqta A/_nda bodib, radius-vektori r_t); r=r_[ da nuqta da, radius- vektori >\ bo'lsin. Bu holda t~t_{ =At vaqt o^L/garishi, r - /;, = Ar esa radius-vektor o'zgarishi bo'ladi.

Radius-vektor o'zgarishini vaqt o'zgarishiga nisbati nuqtaning o'rtacha tezlik vektorini beradi (69-rasm):

(34.1)

1. 
   dan At—^0 da limitga o'tsak. nuqtaning haqiqiy tezlik vek- tori kelib chiqadi:
   

lim ~r~ ⁼ ^ >'^oki ^4- (34.2)

2. 
   dan kiVramizki, moddiy nuqtaning tezlik vektori lining ra- dius-vektoridan vaqt bo^Lyieha olingan birinchi tarlibli hosilaga teng.
   

At nolga intilganda F₀._r M_{) nuqta atrofida avlanib urinmaga ya- qinlashadi. Natijada tezlik vektori trayektoriyaga urinma bodib, ha- rakat yo'nalishi toinon yodialadi. Tezlik \alqaro SI sistemada m/s da odchanadi.

Moddiy nuqta tezligi yo'nalishi va nnqdori qanchalik tez o'zga­rishini aniqlaydigan kattalik lining tezlanishidir.

Faraz qilaylik, tekshirilayotgan nuqta t=t_n da M_(j-da bo'lib, lining tezligi V₍₎: t=t_i da da bo'lib, tezligi \\ bo'lsin. Tezlik o'zgarishi AF = V_] ~V_{] ni aniqlash uchun A/, nuqta tezligi F, ni A/₀ nuqtaga, mazkur tezlikka parallel qilib ko'chiramiz, so'ngra pa- rallelogramm qursak. shu parallelogrammning bir tomoni AF dan iborat bodadi (70-rasni).

54

Nuqtaning o'rtacha tezlanish vektori quyidagicha bo'ladi:

A V

— . (34.3)

3. 
   ning At->0 dagi limiti haqiqiy tezlanish vektorini beradi:
   

d
.. A V dV

lim — = ——

\/->o A/ dr

yoki ^a=-JT = -7T.

(34.4)

V _ &_r dr ~ _dt ²

Demak, moddiy nuqtaning tezlanish vektori tezlik vektoridan vaqt bo'yicha birinchi, radius-vektoridan ikkinchi tartibli hosilaga teng. ^v

Agar nuqta bir tekislikda yotuvchi chiziq bo'ylab harakatlansa, d trayektoriya tekisligida yotib, trayektorivaning botiq tomoniga yo'naiad i.

Agar nuqta bir tekislikda yotmaydigan egri chiziqdan iborat bo'Isa, h_{o r} parallelogramm tekisligi P da yotadi. At—>0 boiganda, ya’ni M_{ nuqta M₀ ga yaqinlashganda, P tekislikning egallagan ho- lati yopishma tekislik deyiladi. Demak, M nuqtaning tezlanish vek­tori yopishma tekislikda yotadi va trayektorivaning botiq tomoniga yo‘naladi (70-rasm). SI sistemada tezlanish m/s² da o'lchanadi.

32. 
    §. Moddiy nuqtaning tezlik va tezlanishini koordinata usulida aniqlash
    

Moddiy nuqta harakati Dekart koordinatalarida (32.2) tengiama- lar bilan berilgan bo'lsin.

Tezlik vektorining Dekart koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari- ni mos ravishda V_x , V_v, V. desak:

V
(35.1)

(35.2)

= V_x i + V_y j + Vrk.

2. 
   ga koTa (32.5) dan vaqt bo'yicha hosila olamiz:
   

t; d,x f dy 1 dz r

^v = —i + ~rJ + —k dr dr dt

2. 
   b
   dx . dv

   t,r - *’ ' lit

   
   
   
   
   (35.3)
   
   ilan (35.1) ni solishtirsak,
   

kelib chiqadi.

Demak, tezlik vektorini koordinata o‘qlaridagi proyeksiyasi nuq­taning mazkur o'qdagi mos koordinatasidan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilasiga teng. Tezlik vektori proyeksiyalari mos ra­vishda Ox, Oy, Oz o‘qlariga parallel (71-rasm). V_x, V_r, V. larni

parallelogramm usulini qo‘llab qo'shsak, V tezlik V K , V._ larga qurilgan parallelepiped diagonali bo'ylab vohtaladi. Matematikadan ma’lumki:

¹⁷ = \*7 • ‘ • * ' ■ (35.4)

Tezlik vektorining yo'naltiruvchi kosinuslari quyidagicha aniqla- nadi:

cos( V^A,i) = if. cos( V'\j) - if. cos( V\k) = if. (35.5)

V V V

Tekshirilavotgan nuqta tezlanish vektorining Dekart koordinata o'qlaridagi proyeksivalarini a_x, a_v, a_ desak:

a = a_v i - a_r j -t a. k . (35.6)

4. 
   ga ko'ra (35.1) dan vaqt bo'yicha hosila olaniiz:
   

d
(35.7)



V, : dV_y • did ■

—-/ / a k

dt dr " dr

6. 
   b
   CL =
   
   
   dV,

   ~dF

   
   
   
   i:/- .v
   
   
   
   dV,

   IT

   
   
   
   d y did
   
   dr ' °^z dt
   
   
   dr
   
   ilan (35.7) ni taqqoslasak:
   

yoki cl = a^;, a, = \\ a. = z (35.8)

kelib ehiqadi.

Nuqta tezlanishining proyeksiyalari (35.8) ma'lum bo'lsa. tezla­nish moduli

a = yja; + a; + a: (35.9)

formuladan, yo'naltiruvchi kosinuslari esa

cos(o^,/) = —, cos(5^A,/) = —, cos(d^A,£) = —-

a a a

formulalardan aniqlanadi (72-rasm).

36. 
    §. Tabiiy usulda berilgan nuqta harakatining tezligini
    

aniqlash

Moddiy nuqta harakati tabiiy usulda (32.6) tenglama bilan beril­gan. Nuqtaning radius-vektori r ni egri chiziqli koordinata s ning funksiyasi deb qarash mumkin. Bu holda r vaqtning murakkab funk- siyasi bo'ladi.

Murakkab funksiyaning hosilasi quyidagicha bo'ladi:

d
bu yerda


lim —

Vs *o As

dr_

ds

r __ dr ds dt ds dt

trayektoriyaga o'tkazilgan urinmaning birlik vektorini beradi. Bu vektorni t deb belgilaymiz.

Natijada	V	dr ds _ dt dt ^1	(36.1)
hosil bo'ladi.	Haqiqatan ham	, biz bilamizki.
		V = Vz .	(36.2)

Birlik vektori f doimo sanoq boshidan nuqtagacha bo'lgan ma- sofaning o'sishi tomon yo'naladi.

(36.1) bilan (36.2) ni solishtirsak:

V = — (36.3)

dt

kelib chiqadi.

Demak, nuqta tezligining algebraik qiymati egri chiziqli koordi- natasidan vaqt bo'yicha birinchi hosilaga teng.

36.