Nazariy fizika kursi

10.4 
Elektrostatika  masalalarini 
yechish  metodlari
Elektrostatikada  t o lg 'ri  va  teskari  masalasi  m avjud.  A vva l  teskari 
masala  bilan  tanishib  chiqamiz. 
K oord in a ta n in g  funksiyasi  sifatida 
berilgan  m aydon  potensiali  yoki  kuchlanganligi  orqali  zaryadlarning 
taqsim otini  aniqlash elektrostatikaning teskari  masalasining mazmunini 
tashkil  qiladi.
Birinchi  qarashda  bu  masala  od diy  va  doim o  yechim ga  ega  b o 'lib  
ko‘rinadi. 
H aqiqatan  ham,  teskari  masalani  yechish  uchun  berilgan 
m aydon  kuchlanganligidan  yoki  potensialdan  koordinatalar  b o ‘yicha 
tegishli  ko'rinishdagi  hosilalarni  olish  kifoyadir,  y a ’ni
p
  =   —-  d iv 
E
 =  
(10.28)
Атг 
A
tc
A m m o,  bu  holat  potensial  (m aydon  kuchlanganligi)  koordinataning 
funksiyasi sifatida maxsus nuqtalarga ega  (cheksiz,  uzilish va boshqalar) 
b o ‘lm aganda  t o ;g ‘ri  b o ia d i.  Buni  quyidagi  m isolda  ko‘rib  chiqamiz.
Potensial
р = - е - аг
 
(10.29)
r
funksiya  bilan  aniqlangan  b o ‘lsin.  Bundan  k o ‘rinib  turibdiki, 
r   =
  0 
maxsus  nuqtadir. 
A vval  (10.28)  yorclam ida  potensialdan  hosila  olib
216

---

1  1 
д   (
  о
dip\ 
a 2  e  _ nr 
a 2
r = T ^ i f A r - § )   =   - T « r c
 
= - s ^ -
Bu  yerda  potensial  sferik  sim m etriyaga  ega  b o ig a n lig i  uchun  Laplas 
operatorini sferik koordinatalarda yozdik.  Zaryad taqsim oti  uchun  olin 
gan  ifoda  yordam ida  r   =   0  nuqta  atrofidagi  cheksiz  kichik  hajm da  qan­
day  zaryad  t o ‘planganligini  aniqlaylik:
/• 
PCv2  f
  1
e (r )  =
  / 
pdV  =
  — ——   /  -  
e~ai 4 irr2 dr
  =  
e
  [e- o r ( l   +  
a r )  —
  1]  .
v
 
0
(10.31)
Bu yerda 
v  =   4 n r3/3.
  (10.31)  ifodada r   —>  0 da zaryad  e (0 )  —►
  0.  Shun­
day  qilib,  maxsus  nuqtada  nuqtaviy  zaryad  y o ‘ q  b o ‘lib  chiqdi.  Bu  nati- 
jan i  tekshirib  ko‘rish  m aqsadida  maxsus  nuqtada  zaryadni  aniqlashda 
clektrostatika  tenglam asining  integral  ko‘rinishidan  foydalanam iz:
E ndS
  =   4тге(г), 
E n  =   E r
  =  
-   e 
e~Qr.
 
(10.32)
Bu  yerda  integralni  maxsus  nuqtani  o ‘z  ichiga  olgan  sferik  sirt  b o ‘yicha 
olib  quyidagini  topam iz:
j   E ndS  =   4
tt
E
t
 r 2  =   4 n e (a r
 +   l ) e “ Qr 
(10.33)
(10.32)  va  (10.33)  ifodalarni  taqqoslab,  sfera  ichidagi  zaryadni  aniqlay- 
miz:
e ( r )
  — 
e (a r   +   l) e ~ a r.
 
(10.34)
Endi  sferik  sirtni 
r  =
  0  maxsus  nuqtaga  tortib ,  undagi  zaryad 
(10.34)  dan  e (0 )  =   e  ekanligini  aniqlaym iz.  Dem ak.  maxsus  nuqtada 
nu qtaviy zaryad 
e
 joylashgan ekan.  Bu differensial tenglam adan olingan 
natijaga  ziddir.
Bu  misol  teskari  masalani  yechishda  faqat  differensial  tenglam a 
bilan  cheklanish  -  maxsus  nuqtalarda  n oto‘g ‘ri  n atijalarga  olib  kelishi 
m um kinligini  ko‘rsatadi.  Differensial  tenglam a  faqat  uzluksiz  taqsim- 
langan  zaryadlarni  aniqlashda  t o ‘g ‘ri  natija  beradi.  K o 'rila y o tg a n   mi- 
solda  uzluksiz  taqsim langan  zaryadlarning y ig ‘ indisi  (10.31)  ifodadan 
r
zaryadlarning  taqsim otini  aniqlavm iz:
91 7

---

chcktiizgn  in tiltirib  topiladi.  Bu  holda 
e (r
 
—*
  oo)  =   —e  ekanligi  kelib 
( 11ifjadi
Shunday  qilib,  masalaning  yechimi  qyidagicha:  Maxsus  nuqtada 
joylashgan musbat  ( + e )   zaryadni  (10.30)  qonuniyat  bilan taqsim langan 
m anfiy  zaryadlar  buluti  o ‘rab  olgan.  Bulutdagi  tcrliq  zaryad  —e  ga 
teng.  Demak.  sistemaning to ‘liq zaryadi nolga teng b o ‘lib elektroneytral 
ekan.1
Endi  elektrostatika t o ‘g ‘ri masalasini yechishning maxsus m etodlari 
bilan  tanishamiz:
1. 
F u r y e   m e t o d i. 
Zaryadlar  taqsim oti  berilgan  bo'lsa,  elek­
trostatik  m aydon  potensiali  tegishli  chegaraviy  shartlarni  qanoatlanti- 
ruvchi  Puasson  yoki  Laplas  tenglam alarining  yechimi  bilan  aniqlanadi. 
Bu  tenglam alarni  yechishning  bir  qator  m etodlari  rnavjud.  Zaryadlar- 
ning  taqsim oti  sim m etriyasiga qarab  Puasson  va  Laplas  tenglam alarini 
bevosita  yechish  bilan  mikroskopik  elektrodinam ikaning  elektrostatika 
b o ‘lim ida  tanishib  chiqqan  edik.  H ozir  Puasson  tenglam asini  yechish­
ning  yana  bir  m etodi  -  Furye  m etodi  bilan  tanishamiz.
Bu  m etod  bilan  masala  yechilganda,  zaryad  zichligi  va  m aydon 
potensiali butun fazoda integrallanuvchi funksiyalar b o ‘lishi kerak, y a ’ni
J  
\p\dV
  <   oo, 
J  \ip\
dV   <
  oo.
Bu  m etodning  asosiy  g !oyasi  -  potensial  va  zaryad  zichligini  Furye 
integraliga  yoyib  differensial  tenglam ani  Furye  am plitudalar  uchun  al- 
gebraik  tenglam aga  keltirishdan  iborat.  H aqiqatan  ham,
^ Г)  =
  ( 2 ^  ./ 
V k elkT'd k - 
P W   =
  ^
  /
P k eikr
 
(Ю .35)
Bu  yerda 
va 
p/,,
  Furye  am litudalar  b o 'lib   teskari  almashtirish  bilan 
aniqlanadi:
^ k ~  
J
 
^ ( r ) 
e  lk r d r , 
Pfc  — 
J 
p { r )e ~ lk r d r .
 
(10.36)
Puasson  tenglamasi  (10.24)  ga  (10.35)  ni  q o ‘yam iz:
j 
p k ( - k 2)e ik r d k =   - 4 n  
I 
P k elk r dk.
 
(10.37)
1 
(10.29)  forrrmla bilan  an iqlangan  p oten sial  kvant.  m exanikada k atta  a h am iy atg a 
ega  b o 'lib ,  Yukava  poten siali  deb  yu ritilad i.
218

---

I5u  tenglam aning  har  ikkala  tom onini  e x p (—
i k 'r )
  ga  ko'payt irainr/  vm 
koordinatalar  b o ‘yicha  integrallaym iz  va 
b{k) —
  funksiyaning  intcj’.inl 
liusavvuri  ( A . ] 52)  ni  inobatga  olib  qu yidagi  natijani  hosil  qilanii/:
j  
к2<р^8{к
 — 
k ')d k
 =   47Г 
J  
р ^ 5 { к — k' ) dk.
 
( 10..'W)
Bu yerda integralni  <5—funksiyaning xossasiga asosan  integrallab  poten- 
sialning  Furye  am plitudasini  aniqlaym iz:
47Г
V k = ^ 2 P k -
 
( 10-39)
Endi  potensialni  (10.35)  ga  binoan  uning  Furye  am plitudasi  (10.39) 
orqali  ifodalaym iz: