Nazariy fizika kursi

A(r) 
=  
- 
[
 div 
(  
d V  
=   -  
=
  0.
с .1 
\
 |r— 
r'\ 
J 
с J
  |r— 
r'\
B u  ifoda  haqiqatan  ham  nolga  teng.  Chunki  toklar  egallagan  hajm  
chekli va  uni o ia g a n  sirtda,  ya’ni integrallash sirtida toklar nolga teng.
E ndi  (6.11)  dan  foydalanib,  (6.7)  ga  asosan.  statsionar  toklarning 
m agnit  maydon  kuchlanganligini  aniqlaymiz:
H =
 rot - 
I 
г Щ
-JV'
  =   - 
f
 
(6.12)
с 
J  \r — r'\ 
с 
J 
RA
130

---

Ilii  formula 
B io   va  S a v a r
  qonunini  aniqlaydi.  B u  yerda  (A  10.4) 
lui muladan  foydalandik.
Statsionar tok uchun  (6.1) ga muvofiq, zaryadning saqlanish qonuni 
( I  '.’(i)  quyidagi  ko'rinishni  oladi:
d iv j'(r )  =  0 
(6.13)
yulo  uzluksizlik tenglamsining integral ko'rinishi (4.18) ga muvofiq quyi- 
1
1
a  yoziladi:
j) j
 (r, 
t)  dS
 =  0. 
(6.14)
Bin и Ian  ko'rinib turibdiki,  statsionar tokning yopiq sirt  bo'yicha  oqimi 
litily.a  teng.
Tenglama  (6.13)  ga  kora,  statsionar  tok  zichligi  uyurm ali  xarak- 
I r i   с ,
i i
 
ega,  ya’ni  tokni  hosil  qiluvchi  zaryadlar  yopiq  naychalar  bo'ylab 
Ii 
ii
 
i nka I  ([iladi.  B u  naychalar  zaryadlarning saqlanish  qonuniga  asosan 
liii  Kin  bilan  kesishmaydi.  Demak,  zaryadlarning harakati  davriy  yoki 
It4i/.i  davriy  (davriyga ju d a   yaqin)  bo'ladi.  Naychalarning  ko'ndalang 
le  muni  nolga  intiltirsak,  tokni  -  chiziqli  toklardan  tashkil  topgan  deb 
<|nia  ll  mum kin.  B u  holda,
jd V '  =  j
 (
d-Sdl
)  =  
(jdS) dl =
  (.
jd S
) 
dl =  d id  I.
 
(6.15)
I Midi  zaryadlar  fazoning  chekli  sohasida  kvazistatsionar  (statsio- 
imif.a  yaqin)  harakat da bo'lgan holni ko'rib chiqamiz.  B u  holda ko'rila- 
уоЦ'.ап  sohacla  zaryadlar davriy yoki  davriyga yaqin  harakatda  bo'lishi 
iniimkiii.  Davriy  harakatda  zaryadlar  har  davrdan  so'ng  avл?algi  ho- 
I,it id,m  aniq qavtadi.  Davriyga  yacjin  harakatda esa bunday  holat  ro'y 
I»  imaydi.  A m m o  zaryadlar yetarlicha katta vaqtdan  keyin  avvalgi  ho-
I a 11 a i ;’,a yaciin holatlardan o'tishi  m umkin.  Bunga (jo'shimcha  ravishda 
/«ivadlar  sekin  harakat  qilayotgan  bo'lsin 
(v
 
c)  deb  qaraymiz.  Bu 
In>lda  Maksvell-Lorentz  tenglamalarida fazoviy  koordiuatalar  bo'yicha 
iilmgan  hosilalarga  nisbatan  vaqt  bo'yicha  hoslalar  kichik  bo'ladi.  Bu 
diai t.lai  bajarilishi  Maksvell-Lorentz  tenglam alarda  qanday  o'zgarish- 
Inif.a  olib  kelishini  aniqlash  uchun  hosilalarni  baholaymiz.  Vaqt  bo'yi- 
1
1
1
a  liosilalar uchun  quyidagilarni yozish  m umkin:
c)E
E
d H
I I
dt
r^l
  -
T ’
dt
-
T
131

---

Bu  yerda 
T
  maydon  o‘zgarishini  aniqlovchi  xarakterli  vaqt.  Harakat 
davriy  b o ig an d a  
T
  davrga  teng  b o ia d i. 
E ,  H
  lar  zaryadlar  harakat- 
lanayotgan  sohada  maydon  kuchlanganliklarining  absolyut  qiymatlar- 
ining xarakterli  o‘rtachasi.  Yuqoridagi  baholash  kattaliklarning tartibi 
uchun  m a ’noga  ega.
Endi  fazoviy  koordinatalar  bo'yicha  hosilalarning  (rot 
E
 va rot 
H ) 
tartibini baholaymiz.  Real sistemalarda zaryadlar kvazistatsionar hara­
katda b o ig an d a  
E,  H
 yetarlicha silliq funksiya b o iib ,  fazoning bir nuq- 
tasidan boshqasiga o‘tganda sekin o‘zgaradi.  Sistemaning o ic h a m in i 
L 
bilan  belgilasak,  fazoviy hosilalar  tartibini  quyidagicha baholash  m um ­
kin:
E  
L ’
Bu yerda zaryadlarning taqsimoti va m aydonning o'zgarishi  turli yo‘na- 
lishlarda turlicha b o iish ini  e’tiborga olmadik.
Kvazistatsionarlik sharti  Maksvell-Lorentz tenglamalarida mos ko- 
effitsientlari  bilan  vaqt  bo'yicha  hosilalar  fazoviy  hosilalardan  kichik 
b o iish in i  talab  qiladi,  ya’ni
d E
OE
d E
dx
dy
dz
dEt
1
»   -
dH{
dH i
1
3>  -
dEA
dxk
с
dt
dxk
с
dt
  |
yoki
H
 
1 
E
L 
c l
H
 
1 
E  
L 
c l
(6.16)
B u  yerda  fazoviy  koordinatalar  va  vaqt  b o ‘yicha  hosilalarning  tartibi 
bir  xil  b o ig a n   taqdirda  ham  1 
/с
  koeffitsient  hisobiga  (6.18)  tengsiz- 
liklar  bajariladi.  Bu  tengsizliklarni  bir-biriga  ko'paytirib  tezlik  uchun 
yuqorida qo'yilgan shartni  hosil  qilamiz:
^  
L
Г »
с
с »
T
V.
(6.17)
B u  yerda 
v
  ~ 
L /T
  sisteina  zaryadlarining xarakterli  tezligi  m a ’nosiga 
ega.  Shunday  qilib,  zaryadlarning  kvazistatsionar  harakatida  ularning 
tezligi  y orugiik  tezligidan  ju d a   kichik  b o iis h i  kerak  ekan.  Zaryadlar­
ning harakati  kichik  deganda,  uni  shu  m a ’noda  tushunish kerak.
Yuqoridagi  shartlar  bajarilganda  maydon  kvazistatsionar  deyiladi. 
Bunday  maydonlar  uchun  Maksvell-Lorentz  tenglamalari  (6.3)-(6.6)
132

---

Iillnn  bir  hil  bo'ladi.  Shunday  qilib,  yuqorida  statsionar  maydonini 
in Inin  olingan  natijalar  kvazistatsionar  m aydonlar  uchun  ham   o'rinli 
liu’liuli 
Faqat  bu  holda  maydon  kattaliklarini  ularning  o'rtachalan 
lilliin  almashtirish  kerak.
6.2  M ag nit  m om enti
Kvazistatsionar  harakatdagi  zaryadlar  sistemasining  m agnit  may- 
■
 |i и 
11111
  yetarlicha  uzoq  masofalarda  aniqlaymiz.  B uning  uchun  koor-
• liniil.il  boshini  toklar  egallagan  sohaga joylashtiram iz  va  elektrostatik 
mavdon  potensialini  m ultipollar  bo'yicha  qatorga yoyganimizdagi  kabi 
yn'l  tutam iz,  ya’ni  |r'|  \
r\
  deb,  vektor  potensial  (6.11)  ni 
r '
  ning 
iliuii jalari  bo'yicha qatorga yoyamiz:
A  =   A 0 + A 1  + .. .
 
(6.18)
IHi  ycnla birinchi  had  (nolinchi  yaqinlashish)
Ao =
  -  
f  jd V '.
 
(6.19)
cr  J
Mu  integral  (6.14) ga asosan nolga teng bo'ladi.  Shu sababli (6.20) qator 
lUlunelii  bad  bilan  boshlanadi,  ya’ni
A\  =   —- J j ^ r 'g r a d - ^ j d V ' .
 
(6.20)
I lit ry,nil  ostidagi  ifodaning ko'rinishini  o'zgartiramiz:
| j f ( r 'g r a d - ^ )  -   r '   ( j  grad 
|
| j ( r '  grad
+ r   ( j  grad i )  |
Mu uichi  qavsni uchta vektorning vektor ko'paytmasi  ko'rinishida yozish 
tuuiukin:
| j  ( 
r '
 grad 
- 
r '
  ( r ' g r a d ^ ) j   =
[r'j]
 grad - 
r
133

---

Ikkinchi qavsni hisoblashda kvazistatsionar toklar alohida naychalardan 
oqayotgan toklar to ‘plam idan tashkil topganligini va  (6.15)  ni inobatga 
olamiz.  B unda zaryadlar holatining o‘zgarishi 
d r
 va kontur elernenti 
dl 
ekvivalent  bodadi.  Bularga  asosan  ikkinchi  qavsdan  olingan  integralni 
quyidagicha yozish  mumkin:
j  ( r 1
 grad ^   + 
r '  ( j
 grad 
| 
dV'  =
J  d l j
 j d r '  
grad 
+ 
r '
  | 
d r 1
 grad 
|  =
J  d l j> d
 
( r
7
 grad 
)   =
0
,
chunki to ‘liq diff'erensialdan berk kontur bo'yicha olingan integral doimo 
nolga teng.
Shunday  qilib,  birinchi  yaqinlashishda  vektor  potensialni  quyidagi 
ko‘rinishda yozish  mumkin:
. 
1
 
f rr
 
....... 
1
A i  =
  —
2 
cr
B u yerda
m
2
c
zaryadlar  sistemasining 
magnit  momenti
  deyiladi.  Bu  kattalik  zaryad­
lar  sistemasining  xossalari  -  toklar  taqsimotiga  va  ularning  geometrik 
shakliga  bogiiq.
Vektor  potensial  m a ’lum   bo'lgandan  keyin  m agnit  maydon  kuch­
langanligi oson  topiladi.  M agnit maydon  kuchlanganligini topish uchun 
vektor potensialdan rotor olish kerak.  M agnit momenti berilgan zaryad­
lar sistemasi  uchun  o‘zgarmas  bodadi.  Shu  sababli  (A .100)  ga  muvofiq 
quyidagini yozish  mumkin:
[mr] 
r  
r
H
 — rot 
A  =
  rot —
-r-
  =   m  div 
—7
  —  (m  V ) —
7
.
|'0
Bu  yerda  (A .98)  ga  asosan  birinchi  hadni  nolga  tengligini  ko‘rsatish 
mum kin.  Ikkinchi  had  uchun  quyidagini  hosil  qilamiz:
r
 
1  ,  „ч 
/   „   1  \ 
m  
3 r(m r)
(m V i ^   =   ^ ( m V ) r + r f m V - 3 j  = - j ---- -g—
.
-  
J[[r'j}r]dV '  =
  —  [mr]  . 
(6.21)
Yc J lr'rtdV'
 
(6-
22)
134

---

Shunday  qilib,
3r (r m )   -  m r 2 
3 n (n m )  - 
111 
i ?  =  
-
----- F-----   =   ■
  -- ----- • 
(6.23)
Hu  yerda 
n
 kuzatish  nuqtasiga o'tkazilgan radius-vektor yo'nalishidagi 
birlik  vektor.
D ipol yaqinlashishdagi elektr maydon  kuchlanganligi  if'odasi  (5.26) 
I>■
 Ian  (6.23)  ni  taqqoslab,  ularning ko'rinishi  bir xil ekanligini  ko'ramiz, 
larqi  birida  maydon  dipol  momenti  bilan  aniqlansa,  ikkinchisida,  mag- 
nit,  momenti  bilan  aniqlanadi. 
A m m o,  m agnit  momenti  dipol  ino- 
iiHMitidan  farqli  ravishda  koordinata  boshini  ko'chirishga  bog'liq  emas. 
Koordinata  boshini 
О
  nuqtadan 
O'
  nuqtaga  ko'chiramiz,  ya’ni 
i 1 
f  
a
  almashtirishni  bajaram iz.  Yangi  koordinata  boshiga  nisbatan
/I
magnit  mom entini  hisoblaymiz:
Yc J  W
j
W' = Yc J^ r' ~
 °)jW ' 
= m + ^TcJ
I
a^dV'
m
2c ,
Hu  yerda ikkinchi  had
[aj]dV"  =
a, 
/ 
jd V '
=  0.
Shunday  qilib,  m agnit  momenti  koordinata  boshini  qayerda  tanlashga 
bog'liq  emasligini  aniqladik.
6.3 
Chiziqli  tokning  m agnit  m om enti
Bio-Savar  qonunini  chiziqli  toklarga  tatbiq  qilamiz.  Chiziqli  tokni 
ko ndalang  kesimi  cheksiz  kichik  naychadan  oqayotgan  tok  b ih n   al- 
mashtiramiz.  Bu  holda,  (6.15)  ni  inobatga  olib.  (6.11)  ning o'rniga chi- 
ziqli  tokning  m agnit  maydon  vektor  potensiali  uchun  quyidagi  ifodani 
hosil  qilamiz:
A (r)  =  
-  f  ^ Щ
-dV   =   -  [
 —
. 
(6.24)
с J
  | r  —  r  
’
 I 
с J
  | 
r
 — 
r
  I
Shunga o'xshash m agnit maydon kuchlanganligi ifodasi  (6.12) ni chiziqli 
tok uchun yozamiz:
135

---

Bu  yerda  birinchi  ifoda  chiziqli  tok,  ikkinchi  ifoda  esa  chiziqli  tok  ele- 
menti hosil qilayotgan m agnit maydon kuchlanganligini aniqlaydi. O xir­
gi  ifodaga  asosan,