|
q, = x.
/2
= у,
% =(p
y o ‘l bilan kiri-
tilsa, sharti
<
72
- <
7
,/#(6.152)
ko'rinishni oladi. Bu tenglik hech qandav funksiyaning to'liq hosilasi emas,
dem ak. u - nogolonorn shartdir. U n i <5/ ga ko'paytirilsa variatsiyalarni
bog'laydigan tenglamaga kelinadi:
8
ц
2 ~8qiq
з =
0
.
(6.153)
Hulosa sifatida shuni aytish kerakki, x, v, va
rishlari mustaqil bo'la ohnasligiga qaram asdan koordinatlarning
o'zlari
mustaqilligicha qoladi, chunki, (6.154) shartni integrallab uni koordinatlarni
bog'laydigan shartga o'tkazish m um kin emas.
Shunga qaramasdan harakat integrallarining mavjudligi masalani to'liq
yechishga im kon beradi. M asala birinchi Lagranj ko'paytuvchilari tilida
yechiladi, keyin harakat integrallaring m uholam a qilam iz.
Jism ning Lagranj funksiyasi (haqiqatda u kinetik energiyaganing o ‘zi)
1 = ^ m (*o + i'o)+ ^ I(P2 ■
(6.1
54)
B u nda
m
— jism n in g massasi,
/ - О nuqtadan
o'tgan vertikal o ‘qqa
nisbatan inersiya m om enti. (
1
.
6
) paragrafda aytilgani bo'yicha nogolonorn
bog'lanishlar bor taqdirida harakat tenglamalari
dtdq,
dq i ~ 2 - l kCk‘
(6.155)
к
I I — N aza ri y mexanika
177
6.15-rasm.
Tekis
sirt ustidagi chiziqli
jism.
Cii
= ~tS(P- C\
2
= 1 ’ ci3 = °
(6.156)
ekanligi to p ilad i. Bu darhol harakat tenglam alarini yozib olishga im kon
beradi:
mx0 = — A,fg
my0 = X l , 1(f)- 0.
(6.157)
Bu sistema
y-xtgcp = Q
(6.158)
tenglama bilan to'ldirilishi kerak. Shu bilan, to'rtta n o m a ’lum bor — x,y.cp,A .
U lar uchun yozilgan tenglam alar soni ham to'rtta - (6.158) da uchta va
(6.159) tenglama. Shu tenglam alar ichidagi uchinchisini yechish eng osoni:
<;
p(j) = cot + cp{),
(6.159)
bunda
о) ~ ф
— jism n ing
z
o'q i atrofidagi burchak tezligi. (6.158) dagi birinchi
va ikkinchi tenglamalardan
yK
ni qisqartirilsa
Jtcos cp+ у sin cp
=
0
hosii bo'Iadi. (6.159) tenglam ani ham
y c o s p - .rs in cp -
0
ko'rinishda olib ikkalasi qo'shilsa
xcoscp-xs\ncp + ysin
ycoscp = 0,
yoki
— [xcos cp+ vsinraj =
0
dt
tenglamaga kelinadi. Bitta harakat integrali topildi
xcos
у simp
-
c,.
Bu tenglam ani (6.162) tenglam a bilan taqqoslab
x
= c, cos
cp
,
у = сл
sin
cp
ekanligini, shunga ko'ra,
* =
(sin
x0,
y = -^(costf>-cos
0
)+ y
0
(6.166)
CO
CO
ekanligi topiladi. (6.166) tengiam adan c ,= u ekanligi kelib chiqadi.
(6
158) sistemaning ikkinchi tenglamasidan y, topiladi:
Aj -
nnov cos (p.
(6.167)
ko'rinishga ega bo'Iadi. (6.150) va (6.154) shartlar taqqoslansa
(6.160)
(6.161)
(6.162)
(6.163)
(6.164)
(6.165)
178
(6.158) sistemadagi birinchi va ikkinchi tenglam alarning o ‘ng tom onlari
reaksiya kuchining
x
va
у
koniponentalarini beradi:
K o 'rin ib turibdiki,
Rx = -mcovsmq), Rx = mcov coacp.
R 2
= R ;
+
Rl
= m 2C02v 2 .
(6.168)
D em ak, reaksiya kuchi
o ‘zgarmas qiymatga ega
R =mcov.
U n in g yo'na-
lishini aniqlash qiyin emas (6.169) formulalardan xulosa qilish m u m k ink i,
bu kuch
A
va
В
nuqtalar chizayotgan aylanaga urinm a bo'yicha yo'nalgan.
Harakat integrallariga kelaylik. M asalaning vechilishining sababi yetarli
darajadagi harakat integrallarining m avjudligidadir. U lardan b irin c h isi—
energiya:
1
E - —m\
2
'(*o +
Уо) + -1<Р2-
(6.169)
Ikkinchisi -
ning siklikligidan kelib chiqadigan ф = const ekanligi. Bundan
esa
Vq = const ekanligi. (6.165) tenglam a shu oxirgi
B uni ko'rish uch u n tenglikning ikkala tom on ini
x = vcos(p
va )' = u s in
ekanligini hisobga olish
Z
o ‘z navbatida
4
m unosabatning o'zidir.
v
=1
v I
ga ko‘paytirib
kerak.
6.4.6-misol. Tekislik ustida
a
radiusli shar
sirpanmasdan harakat qilayotgan bo'lsin. Shar-
ning tekislikka tegib turgan nuqtasining tezligi
sirpanmaslik sharti oqibatida nolga teng b o ‘lishi
kerak. S ham ing erkinlik darajalari sonini aniq-
laylik. S h am ing holati u ning m arkazining koor-
dinatalari
X0, Y(J
va uchta Eyler burchaklari
o r q a li a n iq la n a d i. H a q iq a ta n h a m , tekislik
ustida harakat deganim iz sharga Z o ‘qi bo'y icha
q o ‘yilgan bitta shartga mos keladi:
Z — a ,
bu
— g o lo n o m shart.
D em a k, erkinlik darajalari soni 6 - 1 = 5 . S h a m in g sirtga tegib turgan
nuqtasini
P
deb, sham ing m arkazidan unga tushgan vektorni
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
