|
= R iRl (3rlrl -S,j r2).
(6.127)
Quyidagi kattalik
DtJ
= J d - V p [ 3 ^ - - 5 (/r 2]
(6.128)
jis m n in g
kvadrupol momenti
deyiladi. P otensial energiya u c h u n ifoda
quyidagi ko'rinishga keltirildi:
GMm GM n n ^
(6.129)
171
T a’rifidan ko'rinib turibdiki, kvadrupol m om ent - sim metrik tenzor, dem ak,
uni h am m a vaqt diagonal ko'rinishga keltirish m u m k in . B unda jism n in g
sim m etriya o 'q in i hisobga olish kerak, bizning hoida bu o 'q -
x, o 'q i.
Dem ak, kvaqrupol m om entnin g
Dv
Д va
D}
hadlarigina qoladi. U m u m iy
fo rm u la b o 'y ic h a
D t + D2+ D
}= 0 b o ig a n i va jis m n in g s im m e triy a s id a n
D} = D2
b o ‘lgani uch u n
D, ■
- D1
'
-
2
deb olam iz va bundan keyin
D = D
deb belgilaymiz. Y ana bir soddalashtirish
bajaraylik:
R,
2
2
= -^-D(3cos
2
a - l) , (6.130)
bunda
a —
R vektor va ,v
3
o ‘q orasidagi burchak. Kvadrupol m om ent va
inersiya m o m e n tla ri orasidagi b o g 'la n is h n i topish q o ld i. Bu ish q iy in
bo'lm agani uchun uni o'quvchiga havola qilinadi. Javobi -
D = 2(/,
Shu bilan potensial energiya uchun
GMm G M D .
л
U =
--- ------- - 3cos-« - I )
(6.131)
R
4R'
k
’
ifoda topildi.
Y erni m o d d iy nu q ta deb qaralganida birinchi h a d n in g
o ‘zi qolgan
bo'lar edi. Yer hatto sof shar bo'lganda ham ikkinchi had b o ‘lmas edi -
chunki bu hoida /, = /, va, dem ak,
D —
0.
K o ‘ nIayotgan y a q inlash uv da Y erning Q uyosh m a y d o n id a g i Lagranj
funksiyasi (6.120) va (6.131) larning ayirmasiga teng. A m m o yana b a ’zi
bir m ulohazalarni hisobga olish kerak.
a
burchak R vektor va x,
o ‘q orasidagi burchak, dem ak, bir yil
n
к
ichida u
dan
a
=
— + 0
gacha o'zgarishi kerak. Yaqinlashuv
doirasida cos2® ni u n in g yd b o ‘yicha o'rtalashtirilgan qiym atiga almash-
1
tiriladi:
c o s '« = > - sin w-
2
Y erning sutkali aylanish burchak tezligi
if/,
presessiya tezligi
unga nisbatan jud a kichik deb qarashga haqqim iz bor (tajriba asosida). Shu
sababii kinetik energiya (
6
.
12 0
) da
ф
bo'yicha kvadratik hadiar tashlab
vuboriladi:
172
(
+ в
" ) =>
в2, (фсоьв+у/)2 ^ ц г 2 +2у/ф cos в.
(6.132)
(6 . 1 2 1 )
formuladan oldingi gaplarni va
ф
ning o'zgarmasligini hisobga
olinsa, kinetik energiyadagi birinchi qavs tashlab yuborilishi kerakligiga
kelinaai,
Shularriing ham m asini bir joyga yig'ib, Yerning masalaga mos keluv-
chi Lagranj funksiyasini quyidagicha holda olamiz:
L
=
— в2
+ — (v
>2
+
2ц'ф
cos
6
) +
— — cos2#-
(6.133)
2
2
V
r
)
20
Л*
Lagranj funksiyasida ham m a o'zgarmas sonlar tashlab yuborildi. Bu Lagranj
funksiyasida ikkita
siklik
o'zgaruvchi bor -
f va f
Shunga mos
ravishda
ikkita
harakat integraliga egamiz:
P =
/ ,y/cos0,
p¥
= /, (y/ +
(6.134)
y> ni - Yerning sutkali aylanish burchak tezligini - o'zgarmas deb olgan
edik, bunga
p
ning konstantaligi qo'shilsa
0
ham o'zgarmas son ekanligiga
kclinadi. Ikkinchi harakat integralidan esa
ф
ning ham o'zgarm as son
ekanligi kelib chiqadi. Endi 0 uchun harakat tenglamasi keltirib chiqarayiik:
. . . . л
ЮМ/п(сГ
—
с
" ) . _
n r ,
,
I, в
+
l^/cp
sin0 +------- ;---- sin 0 cos 0 =
0
.
(6.135)
10
R'
0
- 23 o'zgarmas bo'lgani uchun 0 = 0 , demak,
3
GM (a2 - c2)
------ ^ ----cos0.
(6.136)
4R a \
j/
(6.119) bo'yicha
a
va
с
orasidagi farq k am lig ini ko'zda tutib, quyidagi
soddalashtirishni bajaramiz:
a2—c~
2 (a-c)
a~
a
Yakuniy formula quyidagi ko'rinishda ifodalanadi:
3
GM a - c
_
cp = --- — --- cos
0
.
(6.137)
2/?V a
Birinchidan, Quyosh maydoni ta’sirida Yerning presessiya burchak tezligi
topaylik. Buning uchun M sifatida Quyoshning massasi M=\.98844-10--'g
va R sifatida Yerdan Quyoshgacha bo'igan masofa /?=1.496-1013sm ni olish
kerak. Qolgan kattaliklar ham ma’lum:
173
G = 6.6742 10
.-8
cm
g ■
sek
-, v =
2” -sek''
86400
N atijada
.7
0.14-rasm.
Blok
ustidan o‘tgan
ipga osiigan
rnassa.
.
12
rad
burchak sekundi
” = - 2'5 1 0
----
ekanligini topiladi. Agar Yer o ‘q ining presessiyasi faqat
Quyosh m aydoni ta ’siridagina hosil bo'layotgan bo'Iganida
Y er kurrasi o'z orbita tekisligiga p e ф e n d ik u la r bo'lgan
o'q atrofida presessiya natijasida ~ 79700 yil ichida bir
marta to'liq aylanardi. Presessiya yo'naiishi yerning o ‘z
o'qi atrofidagi aylanish vo'naiishiga teskaridir.
A m m o hali O yning ta ’siri e’tiborga olin m a d i, uni e’ti-
borga olinsa olingan son o'zgaradi.
Oy m aydoni ta'siridagi presessiya teziigi ham aniq-
lay lik , b u n in g u c h u n y u q o rid a g i fo rm u la g a O y n in g
massasi M =7.35-IO “ g va Yer bilan O y nin g m arkazlari
orasidagi masofa
R
=3.908- 10iusm larni qo'yish kerak.
Bu Y erning Oy m aydoni ta ’siridagi presessiya tezligini
beradi:
0 = - 33.8
burchak sekundi
уЙ
'
(6.139)
Ikkala ta ’sirning yig'indisi -50.06" ni beradi. Eksperim ental m a ’lum otlar
-50.02" ekanligidan dalolat beradi. Olgan natija shuni bildiradiki, Yer o'qi
o ‘z orbita tekisligiga perpendikular bo'lgan o'q atrofida presessiya natijasida
~ 26000 yil ichida bir marta to'liq aylanadi. Yer o 'q i hozir Q utb yulduziga
qaragan, yillar o'tishi bilan Yer o'q in ing yo'naiishi osm onda aylana chizib
boradi, biz topgan davr ~ 26000 yil shu aylanani bir marta chizishga kerak
bo'lgan vaqt. Bir necha m ing yildan keyin qutb yulduzi boshqa bo 'la d i,
masalan, 12000 yildan keyin Vega qutb yulduzi bo'ladi.
6.4.3~misoI. G o rizo ntal
О
o ’q atrofida aylanadigan blok ustidan uzunligi
o 'zg arm aydigan ip o'tgan. Ip n in g bir uchi bik irligi
к
b o 'lg a n prujinaga
ulangan, ikkinchi uchiga
m
massa osilgan. Harakat yo'naiishi —
z ~
o ’qi.
B lokning massasi
mv
uni
R
radiusli ingichka disk deb qarang. Shu siste
m aning kichik tebranishlar chastotasini toping.
Sistem aning kinetik energiyasini yozamiz:
T = -
/,ш
mz~
2
пцН Qf
(6.140)
174
Burchak tezligi Ц =
HR bo‘lgani uchun
7 = — m + -L
2
2
• 2
(6.141)
Potensial energiya ikki qism dan iborat bo'ladi — gravitatsion maydondagi
energiya va barqaror m uvozanat holatida uzun lig i / bo'lgan p rujinaning
uzayishi energiyasi:
k(l + z f
k l"
kz
U
=
-msz
H------------ =
-mgz
+
klz
H----
2
2
2
Barqaror muvozanat holatida
3
U_
dz
l,=o=
tng - kl -
0
(6.142)
(6.143)
bo'lishi kerak, demak,
kl = mg .
Sistemaning Lagranj funksiyasi topildi:
^
kz2
L- —
9
m + ■
2
K ichik tebranishlar chastotasi:
CO =
2k
2 m
g
2m + m,
V 2m + m, I
(6.144)
(6.145)
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
