)2
=o
bajariladi va
L
kattalik
Lx,L
2
,...Ln...
dan faqat bitta kattalikni qabul
qiladi. Ixtiyoriy kattalik qiymatlari to ‘plamini shu kattalikning spektri
deyiladi. Spektr ikki xil b o ‘lishi mumkin: uzlukli, y a’ni diskret va
uzluksiz. Agar spektrda
L„u,...Ln...
alohida qiymatlar m avjud bo‘lsa, u
holda diskret spektr bilan ishlanadi va bu holda fizik kattalik
kvantlangan qiymatlami qabul qiladi. Agar
L
barcha qiymatlami qabul
qilsa, u holda spektr uzluksiz b o ‘ladi.
Fizik
kattaliklam i
tavsiflovchi
operatorlarning
muhim
bir
xususiyatini k o‘rishga o ‘taylik. Bu xususiyatning mavjudligi, fizik
kattaliklam ing o ‘rtacha qiymarlari haqiqiy sonlar bilan ifodalanishi
kerakligi bilan, y a’ni ular uchun
Hozir
diskret
spektrga
ega
b o ‘lgan
o ‘z-o‘ziga
qo‘shma
operatorlarning b a’zi-bir muhim xossalari k o ‘rib chiqiladi. Masalani
soddalashtirish maqsadida ikkita
u l
va
и г
kompleks funksiyalardan
foydalaniladi. Agarda
L = L*
shart bajarilishi bilan bog‘liqdir.
2.4 Xususiy funksiyalaming asosiy xossalari
(
2
.
17
)
65
b o ‘lsa va integral o ‘zgaruvchilaming o ‘zgarishi butun soha b o ‘yicha
b o ‘lsa, u holda bu funksiyalam i ortogonal funksiyalar deyiladi.
0 ‘z-o‘ziga q o ‘shma operatorlam ing har xil xususiy qiymatlariga
mos keluvchi xususiy funksiyalar ortogonal ekanligi ko ‘rsatiladi, y a ’ni
/ v , V B* = 0
(2.18)
shart bajarilishi kerak. Operatom ing xususiy funksiyalari xossasiga
binoan,
*■¥„, ~ Lmy r
va
Ly„ = L„yfn.
(2 -19)
Birinchi tenglamaning qo‘shmasi hosil qilinadi:
L’Vm
=
КУш ■
(2.19’)
Bu yerda eslatib o ‘taylik
(2.19) tenglamaning ikkinchisini
Y„,'
ga, (2.19’) tenglamani esa y/„ ga k o ‘paytiriladi, keyin esa birinchi
tenglamadan ikkinchisi ayiriladi. Natijada
Wm'L W „ -V n^ , n
=
(L„ - Lm
V,„V„ •
Bu tenglikni o ‘zgaruvchilam i butun soha o ‘zgarishi b o ‘yicha
integrallansa,
J
V m t w A
- j V „ i y =
(L„ - Lm
) J yи
(2. 20)
natijani olinadi.
L
operatorlaming o ‘z-o ‘ziga qo‘shmalik shartini
hisobga olinsa, y a ’ni
\v„!Lw„dx = \v „ L 'v m'dx
b o ‘ladi va (2.20) tenglikning chap tomoni nolga teng. Demak,
(L„ ~ LJ l v m*V„dx =
0
va
Lr
ф
Lm
b o ‘lgani uchun,
j y „ , y > - = o
(
2
.
21
)
ortogonallik sharti kelib chiqadi.
Ikkinchi tom onidan diskret spektrga tegishli funksiyalar har doim
kvadratik integrallanuvchidir, shu tufayli ulam i 1 ga normallashtirish
mumkin, y a ’ni
lV n ¥ n d x = l .
(2.22)
Oxirgi tenglikni (2.21) tenglik bilan birlashtirib yozish mumkin.
66
j ¥ m¥„dx =
Do'stlaringiz bilan baham: |