Namangan davlat universiteti informatika kafedrasi hisoblash usullari

Asosiy tushunchalar: Iteratsiya va qatorga yoyish usullari, Eyler, Runge - Kutta, Adams usullari, mahalliy va to‘liq xato.
Asosiy formulalar:
1.Eyler usuli: , .
2.Eyler usulining algoritmi va dasturi.
3.Nazariy savollar va topshiriqlar.
1. Eyler usuli. Faraz qilaylik u=u(x) echim ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo‘lsin, yoki f=f(x,u) funksiya birinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. U holda Teylor formulasiga asosan olamiz:
.
Demak, ekanligini hisobga olsak,

munosabatga kelamiz. Bu erda desak ushbu tenglikni olamiz:
(8)
Bu munosabatda no’malum cheksiz kichik miqdor bor. CHeksiz kichik miqdorni tashlab yuborib yangi miqdor ni quyidagicha kiritib, ushbu
( 9)
Eyler usuliga kelamiz, bu erda sonlar ( 9) rekkurent formula echimi, ravshanki, ya’ni lar larning taqribiy qiymatlari ekan. Endi xatolikni topamiz. (8) dan (9) ni hadma-had ayirib topamiz:
,
.
(10)
Lemma. (10) tengsizlikdan ushbu tengsizlik kelib chiqadi:
.
Isbot.Bu tengsizlikni induksiya usuli bilan osongina ko‘rsatiladi:

Oxirgi tensizlikka ifodalarni qo‘yamiz:
. (11)
Demak, Eyler usulida mahalliy xatolik , to‘liq xatolik ga teng ekan.SHunday qilib, Eyler usulida [a,b] kesmadagi to‘liq xatolik birinchi tartibli ekan: .
2. Eyler usulining dasturi.
Bitta ODT uchun Eyler usuli
Oraliq, nuqtalar
ODT da o‘ng tomoni, boshlang‘ich shart
Eyler usuli
Natijani chiqarish
Programma asosida eksperimentlar o‘tkazamiz: a, b, u0, n=0 1 0 10:

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
u	0.0000	0.0010	0.0050	0.0140	0.0300	0.0551	0.0914	0.1413	0.2072	0.2925	0.4011

Natijaning to‘g‘riligi ko‘rinib turibdi.