Найти наибольшее и

^{Найти наибольшее и наименьшее} значения функции в областях, задаваемых неравенствами:

^{15.77. z =} х^3+у2,

78. 
    z ⁼ ln (х^+у)^,
    

х²+у^{2� l.
(õ - 2)2 + (Ó- 2})^{2 � l.}

78. 
    
    
    
    Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих дан­ ^{ную сумму длин ребер а}, ^{найти параллелепипед, имеющий наиболь­} ший объем.
    

Исследовать функции на условный экстремум:



^{1 1} прих+у=2.

прих²+у²= ^l.




х у
15.82. z = ху^{2 при х+2у = 4.}

15.83. ^{z= х-}✓2^у-4

^прих2 +у^{2 =} l.

84. 
    
    
    
    z = Vxify ^{при 2х + Sy = 100.}
    
85. 
    Найти высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объема, если его полная поверхность равна 6п.
    
86. 
    
    
    
    
    
    
    Прямоугольный параллелепипед вписан в полушар радиуса
    

R. Найти такие длины сторон параллелепипеда, чтобы его объем был наибольшим.

84. 
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок d и внуrренней емкостью V так, чтобы на его изго­ товление было затрачено наименьшее количество материала.
    

15.4. Метод наименьших квадратов Справочный материал

1. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   ^{Постановка задачи. Произво}дится п ^{наблюдений} _(х1,_У1), ..., _(Хп,_Уп) переменных х и у. Предполагая, что между х и у существует зависи­ ^{мость вида у= f(x)}, ^{найти значения параметров а и Ь, наилучшим об­} разом согласованные с экспериментальными данными.
   

Согласно методу наименьших квадратов параметры функции f(x) следует выбирать так, чтобы сумма квадратов невязок

была наименьшей.
i=I





401
(¹⁵.¹⁴)

2. 
   Если j(x) - линейная функция, т.е. у = ах + Ь, то
   

S = Lп
i=I
(ах;
+Ь - У; )²
, а неизвестные параметры а и Ь определяются из

системы нормальных уравнений:

! (
f x;)a+(f x;)ь = fx;Y;,

(tx;}
/=) /=) ,=I (15.15)
+ пЬ = tY;·

3. 
   Если f(x) - квадратичная функция, т.е. у= ах² + Ьх + с, то
   

S = f (ах² ; + Ьх; + с - У;f , а неизвестные параметры а, Ь, с определя­
i=I


ются из системы нормальных уравнений:


(15.16)

84. 
    Имеются следующие данные о величине пробега автомоби­
    

лях (тыс. км) иу- расходе масла (л/тыс. км):

Х;	50	70	90	110	130
У;	0,2	0,5	0,8	1,1	1,3

Полагая, что между переменными х и у существует линейная зави­ симость, найти эмпирическую формулу у = ах + Ь методом наимень­ ших квадратов.

п п п ₂ п
Р е ш е н и е. Найдем необходимые для решения суммы
LX;, LY;, I;x; , LX;Y;. Промежуточные вычисления представлены
i=I i=I i=I i=I
в таблице:

i	Х·	У;	Х;У;	х/
1	50	0,2	10	2500
2	70	0,5	35	4900
3	90	0,8	72	8100
4	110	1,1	121	12 100
5	130	1,3	169	16 900
1:.	450	3,9	407	44500

Система нормальных уравнений (15.15) имеет вид:
_{ 44 500а + 450Ь = 407,
450а + 5Ь = 3,9.

►
Ее решения а= 0,014, Ь = -0,48. Таким образом, линейная зависи­ мость имеет вид: у = 0,014х - 0,48.

84. 
    Имеется четыре измерения пары переменных (х, у), резуль­ таты которых приведены в таблице:
    

х		2	3	4
у	0,2	0,3	1,0	1,2

Методом наименьших квадратов построить линейную зависи­ мость у = ах + Ь. Сравнить полученную зависимость с зависимостью
1 2
y=sx .
Ре ш е н и е. Аналогично задаче 15.88 найдем уравнение линей­ ной зависимости: у= О,37х - 0,25.

п
Сравним величины S = L[J(x; )- У; ]² для найденной линейной
i=\
зависимости и зависимости у = ₈¹ х² . Промежуточные вычисления представим в таблице:

i	Х;	У;	-^1х ? 8 /	О,37х; - 0,25	(1sx?;-y;J	[О,37х; - 0,25 -у;]2
1	1	0,2	0,125	0,12	0,005625	0,0064
2	2	0,3	0,5	0,49	0,040000	0,0361
3	3	1,0	1,125	0,76	0,015625	0,0576
4	4	1,2	2	1,23	0,640000	0,0009
	-	-	-	-	0,701250	0,1010

►
Как видно Sлин < Sкв• следовательно, линейная зависимость предпочтительнее.

84. 
    Имеются следующие данные о расходах на рекламу х (тыс. усл. ед.) и сбыте продукции у (тыс. ед.):
    

Х;		2	3	4	5
	1,6	4,0	7,4	12,0	18,0

Предполагая, что между переменными х и у существует квадра­ тичная зависимость вида у = ах + Ьх + с, найти значения параметров а, Ь, с методом наименьших квадратов.
Р е ш е н и е. Найдем необходимые для решения суммы