Найти наибольшее и

15. 6. Функции нескольких переменных в кономических задачах
Справочный материал

1. 
   Производственной функцией называется зависимость результа­ та производственной деятельности - выпуска продукции от обусло­ ^{вивших его факторов - затрат ресурсов х}1, ^{х2, ••• , х,,. Производствен­} ная функция может быть задана как в натуральных, так и в денежных единицах. В последнем случае она представляет собой доход от ис­ пользования ресурсов.
   

Производственная функция К(х, у)= Ах ау называется функцией Кобба-Дугласа. Параметры а и представляют собой частные эла­ стичности выпуска продукции по отношению к затратам труда х и капитала у (см. п. 3).

2. 
   ^{Функция полезности U(xi, х2, ••• , Хп) задает полезность для потре­ бителя от приобретения х}1 ^{единиц 1-го блага, х2 единиц 2-ro блага и т.д.}
   
3. 
   Частной эластичностью функции нескольких переменных
   

^{z =/(х1, х}2, ^{... , Хп) относительно переменной Х; называется величина}

^{Fx (z)= lim} ( ^{Лхz _:Л-х'.) =---х1 z: ..}
' Лх; О Z Х; Z '


(15.19)

Значение Ех; (z) показывает приближенно, на сколько процентов изменится переменная z при изменении переменной х; на 1 %.

107. 
     Производсmенная функция (в денежном выражении) имеет вид
     

К(х, у)= зo xify (х-количество единиц первого ресурса,у-второ­ го). Стоимость единицы первого ресурса - 5, второго- 10 ден. ед. Най­
ти максимальную прибьшь при использовании ресурсов.
Р е ш е н и е. Производственная функция в денежном выражении равна доходу от использования ресурсов. Издержки при этом равны С(х) = 5х + 10у. Таким образом, функция прибыли равна
1t(x,y) = зo xify - 5x - 10y .
Требуется найти ее максимум.
Частные производные функции 1t(x, у) равны 1t = 15х- 1¹² у1¹³ -5;
1t = 1Ох1^{1 2} у- ² / ³ -1 О. Приравнивая их к нулю, найдем решение х = 81,

• 15 -l l • _l - • 20 ! _1
у = 27. Частные производные второго порядка имеют вид:

2 3
7t = --х 2уз 7t = 1t" = 5х 2у з 7t = --х2у з
хх '-'У ух 'У.У
,, _,:. ,, 2 _J. _.i ,,
Л=1tд1tУ.У-(1t.жу) =25х ² у ³ >0. 1txx <0.

►
Таким образом, найденная критическая точка есть точка максиму­ ма. Соответствующее значение прибыли равно 135 (ден. ед.).

107. 
     Производственная функция равна 1t(x, у)= зо.,Гхifу,
     

стоимость единицы первого ресурса равна 5, второго - 1О. В силу бюджетных ограничений на ресурсы может быть потрачено не более 600 ден. ед. В этих условиях найти оптимальное для производителя значение (х, у) количества используемых ресурсов.
Р е ш е н и е. Теперь следует максимизировать функцию 1t( x, y )= 30 xVJ - 5x - 10 y , но при условии, что 5х + l0y 600. В пре­ дыдущей задаче было найдено оптимальное распределение ресурсов в
ситуации, когда ограничения отсутствовали. Оказалось, что опти­
мальные затраты на ресурсы равны 5 · 81 + 10 · 27 = 675 > 600. Можно показать, что в этом случае в условиях наличия ограничений на ре­ сурсы следует потратить всю возможную сумму.

Итак, имеем задачу максимизации функции
тт(х,у) = 30,JxVJ-Sx-lOy
при условии, что 5х + lОу = 600, или х + 2у = 120.
Первый способ. В силу ограничений имеем х = 120- 2у и
тт(у) = зo.j120-2yif;-s(120- у)-1оу = зo.j120-2yif;-600.

Производная функции _1t^,у(у) = ..j
10.j120-2y

+
l Г.: . Прирав-

l 20- 2у у
нивая ее к нулю, получим решение у= 24, откуда х = _{120 - 2-24} = _72.
Максимальная прибыль при этом равна 30-72-24 - 5-72 - 10·24 =
= 51 240 (ден. ед.).
Второй способ. При условии, что 5х + lОу = 600, функция прибы­ ли имеет вид тт( х,у) = 30,Jxify- _600. Очевидно, что если какое-то зна­
чение С достигается, то линия уровня функции тт (х, у) = С должна пе­ ресекаться с прямой 5х + lОу = 600.
Уравнение линии уровня функции прибыли зo x ify -600 =С

может быть записано как у =
А
"""з7z,
где А
С+600
= ---

х 30
Легко видеть, что максимальное значение А, а следовательно, и уровня С достигается в том случае, если соответствующая линия уровня касается прямой 5х + lОу = 600. Так как градиент в каждой точке ортогонален линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформулировано следующим образом: вектор (тт , тт ) ортогонален прямой 5х + 1Оу = 600. Эта пря-

мая имеет угловой коэффициент, равны_й
.!_ . Угловой коэффициент
2

тт'
прямой, проходящей через вектор (тт , тт ) равен .2.. По условию
1t
тт'
перпендикулярности прямых имеем .2..= 2 , т.е.
тт_х'

з
_-l_х21. _у_1
³ l _1. 1
-х 2 уз
2


=2,

►
или х = Зу. Подставляя полученное выражение в уравнение прямой
5х + 100у = 600, находим х = 72,у = 24.

З а м е ч а н и е. Оптимальное решение лежит на прямой ограниче­ ний (в данном случае на прямой 5х + 1Оу = 600) только в том случае, если при оптимальном решении без ограничений сумма, затрачиваемая на ресурсы, больше ограничительной. В противном случае решение задачи с ограничениями просто совпадает с решением задачи без ограничений.

107. 
     Функция полезности имеет вид: И(х,у) = 21n (х- 1) + 3 ln (у-1). Цена единицы первого блага равна 8, второго - 16. На приобретение этих благ может быть затрачена сумма, равная 1ООО. Как следует рас­ пределить эту сумму между двумя благами, чтобы полезность от их приобретения была бы наибольшей?
     

Р е ш е н и е. Рассмотрим линии уровня функции полезности И(х, у)= С, т.е. 2 ln (х - 1) + 3 ln (у- 1) =С.Используя свойства лога­ рифмов, имеем:
ln (x - 1)2 (y - 1)³ = C, т.e. ( у - 1)³ =-( А ) ₂ ,гдеА=ес.
х-1
Таким образом, линии уровня представляют собой графики функ-
Vл