|
ппп ппп п
rxt, rx:,
LX;, LX[, LY;, LX;Y;, L X2; Y ;
i=I i=I i=I i=I i=I i=I i=I
Вычисления приведены в таблице:
i
|
Х;
|
У;
|
2
Х;
|
3
Х;
|
4
Х;
|
XfY;
|
х;2у;
| |
l
|
l
|
1,6
|
l
|
1
|
1
|
1,6
|
1,6
|
2
|
2
|
4,0
|
4
|
8
|
16
|
8,0
|
16,0
|
3
|
3
|
7,4
|
9
|
27
|
81
|
22,2
|
66,6
|
4
|
4
|
12,0
|
16
|
64
|
256
|
48,0
|
196,0
|
5
|
5
|
18,0
|
25
|
125
|
625
|
90,0
|
450,0
|
r.
|
15
|
43,0
|
55
|
225
|
979
|
169,8
|
680,2
|
Система нормальных уравнений (15.16) имеет вид:
979а + 225Ь + 55с = 680,2,
{ 225а + 55Ь +15с = 169,8,
55а+ 15Ь + 5с = 49,0.
►
Ее решение а= 0,3; Ь = 0,48; с= 5,06. Таким образом, искомая за висимость имеет вид: у = О,3х2 +О,48х + 5,06.
Имеются следующие данные о переменных х и у. Предполагая, что между х и у существует линейная зависимость, найти эмпириче скую формулу у= ах+ Ь методом наименьших квадратов:
15.91. х- цена на това ел. ед. ; тыс. ед.:
Х; 3,0 4,0 7,0
200 160 80
х - уровень потребления электроэнергии на предприятии (млн кВт· ч); у- себестоимость единицы продукции:
Х;
|
1,2
|
1,3
|
1,4
|
1,5
|
1,6
|
|
20,0
|
18,8
|
18,2
|
18 1
|
18,0
|
х - мощность двигателя (л.с.); плуатации (мес.):
у - средний срок его экс-
40 50 60 70
20 21 24 25
По экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов линейную эмпирическую зависимость у = ах + Ь. Сравнить
попученную зависимость с альтернативной и определить, какая из' них лучше соответствует экспериментальным данным:
Х;
|
2
|
2,5
|
3
|
3,5
|
4
|
У;
|
4,2
|
5,5
|
6,9
|
8
|
9,5
|
Альтернативная зависимость у = 2х + О,1 х2 •
'Х; 1 2
|
3
|
4
|
5
|
У; 1,0 1 1,4
|
1,7
|
2,0
|
2,2
|
Альтернативная зависимость у = х •
Х; 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0,50 0,30 0,25 0,18 0,12
Альтернативная зависимость у= 2-х.
Имеются следующие экспериментальные данные о количе стве единиц произведенной продукции х и издержках у (тыс. усл. ед.):
Х;
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
У;
|
2,0
|
5,9
|
12,0
|
20,0
|
30,0
|
Функция издержек (см.§ 8.6) ищется в виде у= ах+ Ьх2 • Опреде лить параметры а и Ь функции методом наименьших квадратов1•
Имеются следующие экспериментальные данные о количе стве произведенного товарах (тыс. ед.) и количестве реализованного товара К(х) (тыс. ед.):
Х;
|
100
|
120
|
140
|
160
|
180
|
200
|
|
100
|
114
|
130
|
146
|
163
|
180
|
Зависимость ищется в виде у = 100+ а( х -100)-ь-Jх -100.. Найти
Ь
' 1
ее параметры а и методом наименьших квадратов .
1 Указание. Для решения задач 15.97-15.99 вначале необходимо получить свою систему нормальных уравнений, исходя из равенств: S = О, s;, = О , где S опреде
ляется по формуле (15.14).
. х
Имеются следующие экспериментальные данные о цен,е за единицу товара р (усл. ед.) и доле реализованного товара w = К(х) :
|
10
|
12
|
15
|
16
|
20
|
W;
|
1,95
|
0,93
|
0,92
|
0,90
|
0,89
|
.
|
2 .
|
) , t ..·;
|
Функция w(p) ищется в виде w = 1 - ар - Ьр . Найти ее параметры
а и Ь методом наименьших квадратов1•
15. 5. Двойные интегралы
Справочный материал
Рассмотрим множество D на плоскости. Построим покрываю щую это множество решетку (рис. 15.5).
Пусть Лх; и Лу1 - соответственно длина горизонтальной и верти
у кальной клетки Ли. Выберем в каждой клетке Ли точку ( ;, Т\j).
Интегрш ьной суммой функции z =
= f(x, у) на множестве D называется сумма
o х
Рис. 15.5
s = IпIлп
i=I J=I
;,r ;)Лх;лУ1·
Функция z = ftx, у) называется ин тегрируемой на множестве D, если существует конечный предел / интегральной суммы этой функции на D при условии d = .J Лх;2 + Лу7 О. Само значение предела / называется двойным
интегрш ом функции z = ftx, у) на множестве D:
I = ff f(x,y)dxdy = } ttif( ;,111 )Лх;Лу1 .
D
Если область D имеет вид, изображенный на рис. 15.6,
у
(15.17)
o а' Ь' х
Рис. 15.6
-\ о х
Рис. 15.7
1 См. сноску на с. 367.
4Q6
то имеет место равенство:
r
Jfлx,y)dxdy = ih1 (x,y)dy1у.
D !lg(x)
(15.18)
Вычислить / = J fx2 ydxdy , где D - полукруг, изобра
о
женный на рис. 15.7.
Р е ш е н и е. Имеем g (х) = О, h(x) = J1 - х2 - функции, задаю- щие нижнюю и верхнюю границы области.
[М ] IM]
По формуле (15.18):
I = 1 J J х2 у dy dx = 1 J[21 х2 у2 dx =
-1 О -1 О
Вычислить
I = JJ(x+ y}dxdy,
D
где D - область, ограниченная па- раболами у = 6 - х2, у = 2 - х2, пря- мой у = х и осью ординат.
Р е ш е н и е. Область D изо бражена на рис. 15.8.
Разобьем область D на две об- ласти прямой, проходящей через
у
Рис. 15.8
точку Мпараллельно оси ординат. Точка Мимеет абсциссу, равную 1,
точка N - равную 2. Таким образом, имеем:
[
/ = 'l),+ y)+ 2n- 6 ;f x+ y)dy] dx=
ll2-x- х
ажху+У;):::}+ (ху<):-•']d,a
1
1 2
= f<-4 x2 +4x+16)dx+ Nх4
- х3
15х2
J dx=
1537
) 2
5 3 2
х4
х5
1 (
4 3 2
- - 2 - + бх +18
=(--х +2х+lбх) 1 + -----х +3х +18х = - - .►
3 0 10 4 2 60
1
Вычислить двойные интегралы:
1S.102. ff(x+ у2 )dxdy, где D ограничена прямыми у= х, у= 2х и
D
прямой у= -х + 4.
1S.103. Jf..:..dxdy, где D ограничена линиями у= еХ, у= е2х и пря
o У
мойх=2.
1S.104. JfeX}' dxdy, где D ограничена гиперболой ху = 1, осью абс
о
цисс и прямыми х = 2, х = 3.
1S.10S. Jf( x +.Jy)dxdy, где D ограничена параболами у = х2 ,
D
у= 4х2 и прямой х = 2.
1S.106. Jfsin(x- y)dxdy, где D ограничена прямыми у= х, у= 2х и
D
прямой х = 1t.
Do'stlaringiz bilan baham: |
