N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

IX xossa(O‘rta qiymat haqidagi teorema): Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda

(22)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Berilgan f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgani uchun, Veyershtrass teoremasiga asosan, u bu kesmada o‘zining eng kichik m va eng katta M qiymatlarini qabul etadi. Shu sababli bu funksiya uchun VII xossani ifodalovchi (20) qo‘sh tengsizlik o‘rinli va uni quyidagicha yozish mumkin:

.

Bu qo‘sh tengsizlik orasida turgan sonni μ deb belgilasak, unda kesmada uzluksiz funksiya xossasiga asosan (VI bob, §5, 5-teorema natijasi), [a,b] kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda f(ξ)=μ bo‘ladi. Bu yerdan, belgilashimizga asosan,

ekanligi kelib chiqadi.

5-TA’RIF: (22) tenglik orqali aniqlanadigan

soni f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi o‘rta qiymati deb ataladi.

XULOSA

Juda ko‘p amaliy masalalarni yechish aniq integral tushunchasiga olib keladi. Masalan, geometriyada egri chiziqli trapetsiya yuzasini topish, fizikada o‘zgaruvchi kuch bajargan ishni hisoblash, iqtisodiyotda ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini aniqlash kabi masalalar shular jumlasidandir. Aniq integral berilgan funksiya va kesma bo‘yicha tuziladigan integral yig‘indining limiti kabi aniqlanadi. Berilgan kesmada chegaralangan va faqat chekli sondagi uzilish nuqtalariga ega bo‘lgan funksiya uchun aniq integral mavjud bo‘ladi. Yuqorida ko‘rsatilgan masalalardan aniq integralning geometrik, mexanik va iqtisodiy ma’nolari kelib chiqadi. Aniq integral qiymatini hisoblash yoki baholash uchun uning bir qator xossalaridan foydalanish mumkin.

Tayanch iboralar