N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan

.

II xossa: Ikki yoki undan ortiq funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni

(15)

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda tenglikning o‘ng tomonidagi aniq integrallar mavjud deb hisoblanadi.

Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan





.

III xossa: Agar [а, b] kesmada f(x)0 va integrallanuvchi bo‘lsa, unda uning aniq integrali uchun

(16)

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Bu holda integral yig‘indida f(ξ_i)≥0, Δx_i>0 (i=1,2,3,∙∙∙, n) bo‘lgani uchun va aniq integral ta’rifi hamda limit xossasiga asosan

,

ya’ni (16) tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.

IV xossa: Agar [а, b] kesmada f(x) va g(x) funksiyalar integrallanuvchi hamda f(x)≤ g(x) bo‘lsa, unda ularning aniq integrallari uchun

(17)

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: II xossaga asosan h(x)=g(x)–f(x) funksiya berilgan [а,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. Bundan tashqari f(x)≤g(x) shartdan h(x)0 ekanligi kelib chiqadi. Unda, IV va II xossalardan foydalanib, (17) tengsizlikka quyidagicha erishamiz:



.

V xossa: Agar a<c<b va f(x) funksiya [a,c] , [c,b] kesmalarda

integrallanuvchi bo‘lsa, unda u [a,b] kesmada ham integrallanuvchi va

(18)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Bu xossani qat’iy matematik isbotini keltirmasdan, uni integralning

geometrik mazmuniga asoslangan (71-rasmga qarang) talqinini keltirish bilan chegaralanamiz.

71-rasm

(18) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aACc egri chiziqli trapetsiyaning S₁ yuzasini, ikkinchi integral cCBb egri chiziqli trapetsiyaning S₂ yuzasini ifodalaydi. (18) tenglikning chap tomondagi integral esa y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini ifodalaydi. Bu yerda S=S₁+S₂ tenglik o‘rinli va uni integrallar orqali ifodalab, (18) tenglikni hosil etamiz.

Izoh: III xossani ifodalovchi (18) tenglik c<a va c>b holda ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, c>b holda a<b<c bo‘lgani uchun (18) tenglik yuqoridagi mulohazalar va (12) tenglikka asosan quyidagicha keltirib chiqariladi:



.

VI xossa: Har qanday [a,b] kesmada o‘zgarmas f(x)=1 funksiya integrallanuvchi va

(19)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Bu holda integral yig‘indida f(ξ_i)=1, Δx_i=x_i–x_i–1 (i=1,2,3,∙∙∙, n), x₀=a va x_n=b bo‘lgani uchun

Bu yerdan integral ta’rifi va limit xossasidan (19) tenglik kelib chiqadi:

.

Izoh: Integralning geometrik ma’nosiga ko‘ra (19) tenglikdagi aniq integral asosi [a,b] kesmadan iborat va balandligi f(x)=1 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzasini ifodalaydi va bu yuza S=1∙(b–a)= b–a ekanligidan ham (19) tenglikka ishonch hosil etish mumkin.

VII xossa: Agar [a,b] kesmada (a<b) integrallanuvchi y=f(x) funksiyaning shu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda m va M bo‘lsa, unda aniq integral uchun

(20)

qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Shartga asosan [a,b] kesmada m≤f(x)≤M bo‘lgani uchun IV xossa va (19) tenglikdan hamda I xossadan foydalanib, quyidagilarni olamiz:



.

Bu xossaning geometrik ma’nosi shundan iboratki (72-rasmga qarang), [a,b] kesmada y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi asoslari b–a, balandliklari esa mos ravishda m va M bo‘lgan

aA₁B₁b va aA₂B₂b to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzalari orasida joylashgan bo‘ladi .



VIII xossa: Agar ‌|f(x)| funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, unda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:

(21)

Isbot: ‌ – |f(x)|≤ f(x)≤|f(x)| qo‘sh tengsizlikni hadlab integrallab, bu tasdiqqa quyidagicha erishamiz:

.