Fazoning ayrim geometrik va topologik xossalari

fazoning ayrim geometrik va topologik xossalari

Aytaylik , X fazo [0,1] ⊂R to’g’ri chiziqdagi kesmadan iborat bo’lsin, ya’ni X=[0,1]

1. 
   quyidagi akslantirishni ko’rinishda aniqlaymiz, bunda va , hamda X umumiy holatda kompakt bo’lsin.
   

Ma’lumki, bu akslantirish uzluksiz akslantirishdir. Bundan, ko’rinadi kompakt X fazo uchun fazo fazoning factor fazosidan iborat ekan,agar biz va y elementlar orasidagi ekvivalentlikni quyidagicha aniqlasak:

Bu holatdan, ixtiyoriy uzluksiz akslantirish uchun quyidagi komutativ diagrammaga ega bo’lamiz:

X Y

Demak, gipersimmetrik daraja funktori X fazoni n-darajaga oshirish funktori ning faktor funktori ekan.

b) Biz a) punktda ko’rsatdikki , funktor funktorning faktor funktoridan iborat ekan, bunda n=2 va X=[0,1] bo’lsin.

akslantirish (x,y) va (y,x) juftliklarni “yelim”lar ekan , yoki (x,y) va (y,x) lar bitta nuqta deb qaralar ekan. Bu yelimlash amalini har bir o’quvchi quyidagicha bajarishi ham mumkin: kvadrat ko’rinishdagi oq qog’ozni olib, uning dioganali chizib chiqamiz, ma’lumki bu dioganal ko’rinishdagi to’plamdan(kesmadan ) iborat. Keyin bu kvadrat qog’ozni dioganal (chizilgan chiziq kesma) bo’yicha hosil bo’lgan teng yonli uchburchaklar ustma-ust tushgancha buklaymiz.

(

h
0,1) (1,1) (1,1)

(0,0) (1,0) (0,0) (1,0) (0,1)

1-rasm

Natijada , 1-rasmdagi va teng yonli ucgburchaklar ustma-ust tushadi, ya’ni va yelimlanib bitta teng yonli uchburchakdan iborat bo’ladi.

Bu natijada, dioganal kvadratni ikki simmetrik va uchburchaklarga ajratar ekan:



}

Demak, akslantirishning faqat uchburchakdagi chegaralanmasi o’zaro bir qiymatli ekan. U holda kompaktda aniqlangan uzluksiz va o’zaro bir qiymatli akslantirish gomeomorfizmdan iborat bo’ladi.

Demak, fazo 1-rasmdagi

(1,1)

Uchburchakdan iborat ekan. A(0,0), B(1,0), B(c,1)

(0,0) (1,0) )

Bu esa ni yoki uchburchaklarning biriga gomemorfligini ko’rsatadi.

Ma’lumki, dim[0,1]=1 ga teng , tengdir.

v) endi biz Miyobius yaprog’iga gomemorfligini ko’rsatamiz, bunda tekislikda aylanadir.

Ma’lumki , Miyobius varag’i kvadratning qarama-qarshi tomonlari markaziy simmetrik ikki nuqtasini yelimlash (bir nuqta deb hisoblash) natijasida hosil bo’ladi. Kvadrat sifatida tekislikda birlik kvadrat olaylik. Bu kvadratda : (0,y) va (1,1-y) nuqtalar yelimlanadi (2-rasmda)

( 0,1) (1,1)

(1,1-y)

(0,y) Miyobius yaprog’i

(0,0) (1,0)

2-rasm

Miyobius yaprog’ining qiziqarli topologik xossalaridan biri bir tomonli orientirlanmagan sirtdan iborat. Har bir nuqtada lokol ikki tomonlidir. Masalan, Miyobius varag’ini bir joyidan biror rangga uzluksiz bo’yab boshlasangiz, uning butun sirtini bo’yab tugatasiz.

Ma’lumki, aylana kesmaning uchlarini yelimlash natijasida hosil bo’lgandir.

{a,b}

kesma aylana

3-rasm

M a’lumki , - tor . Tor esa - oddiy kvadratdan o’zaro teskari bir xil yo’nalgan tomonlarini yelimlash(aynanlashtirish) natijasida hosil bo’ladi.(4-rasm.)

2 2

Tor

1

4-rasm

Oldingi misolda aniqlangan akslantirishda 4-rasmdagi kvadratning yuqoridagi uchburchagi torni tasvirlaydi. Va u pastki bilan aynanlashadi.

Bunda 4-rasmdagi ustki 1 tomon , o’ngdagi 2 tomon bilan, chapdagi 2 tomon pastki 1 tomon bilan ayniylashadi(yelimlanadi)

Shunday qilib, kompakt to’g’ri burchakli uchburchakning katetlarini 5-rasmdagi usul ko’rinishida ayniylashtiriladi(yelimlanadi)

1

1 5-rasm

Endi biz bunday yelimlangan uchburchakning Miyobius yaprog’i bilan ustma-ust tushishini ko’rsatamiz. Buning uchun ni to’g’ri burchagidan gipotenuzaga tushirilgan balandligi bo’yicha qirqamiz va hosil bo’lgan uchburchaklarni va bilan belgilab yelimlash yo’nalishini 6-rasmdagidek ko’rsatamiz. va larni yelimlash .

Bizga izlangan ni ifodalaydi.

2 1

2

1 6-rasm.

Endi va uchburchaklarning 1 raqamli tomonini yelimlaymiz va ustma-ust tushirmasdan buklab yelimlasak natijada Miyobius yaprog’I hosil bo’ladi.

Demak, Miyobius yaprog’i. Ma’lumki , dim(Miyobius yaprog’i)=2 va o’rinli.