N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

2.2-§.Chiziqli differensial tenglamalar involyutsiyasi.

Biz endi

_{ } (9)

ko’rinishdagi differensial tenglama

_{ } (10)

bosglang’ich shartlar bilan berilgan bo’lsin. Bu yerda _{ } involyutiv xossaga ega bo’lgan funksiya.

1-teorema. Aytaylik (9) tenglamaning _{ } koeffisiyentlari, qo’zg’almas _{ } nuqtaga ega bo’lgan kuchli involyutsiya hosil qiluvchi _{ } funksiya hamda _{ } funksiyalar _{ } funksiyalar sinfiga tegishli. Agar

_{ } (11)

ko’rinishdagi operator bo’lsa, u holda

_{ } (12)

chiziqli oddiy differensial tenglamaning

_{ } (13)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi (9) tenglamaning (10) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi nilan bir xil bo’ladi.

Isboti. (9) differensial tenglamani _{ } marta ketma ket differensiallash yo’li bilan uning ko’rinishini o’zgartiramiz.

_{ }

bo’lgani uchun (9) tenglamani

_{ }

ko’rinishda yozamiz. Bu tenglikni

_{ }

ko’rinishda yozamiz. Bu tenglamani har ikkala qismini _{ } bo’yicha differensiallab,

_{ },

yoki (11) operatorning aniqlanishiga ko’ra

_{ }

tenglikka kelamiz. (11) munosabatni eltiborga olgan holda yana differensiallashni davom ettiramiz:

_{ }

va bundan

_{ }

tenglikni yozamiz. Bu jarayonni davom ettirib,

_{  }

tenglikka kelamiz. Hosil qilingan tengliklar mos ravishda

_{ }

ifodalarga ko’paytirilib qo’shilsa

_{ } (14)

tenglik hosil bo’ladi. Ammo (9) tenglamada _{ } ekanligi e’tiborga olinsa, u holda (9) va (14) tenglamalardan (12) tenglama hosil bo’ladi.

Boshlang’ich shartlarni esa differensiallash yo’li bilan yuqorida keltirilgan ifodalardan hosil qilishimiz mumkin.

Haqiqatdan ham, _{ } uchun

_{ } va _{ } ekanligidan

_{ }

bo’ladi. Teorema isbotlandi.