N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

1-misol (Zilbershteyin).Quyidagi tenglamani yeching:

_{ }

Yechilishi. Berilgan tenglamani yechish uchun _{ } almashtirish kiritamiz. U holda

_{ }

bo’lgani uchun

_{ }

bo’ladi va bundan tashqari _{ } bo’lgani uchun

_{ }

bo’lib, Zilbershteyin tenglamasi

_{ }

ko’tinishni oladi. Hosil bo’lgan tenglamani yana bir bor differensiallash bilan

_{ }

ya’ni

_{ }

o’zgarmas koeffisiyentli differensial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasi

_{ }

va uning ildizlari

_{ }

bo’lgani uchun hosil qilingan oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi

_{ }

bo’ladi. Bu tenglamadan

_{ }

bo’lgani uchun

_{ }

tenglikka ko’ra

_{ }

Bu tenglikdan _{ }, ya’ni _{ } ekanligini aniqlaymiz. Demak,

_{ }

bu yerda _{ }.

Ammo _{ } bo’lgani uchun berilgan tenglamaning yechimi

_{ }

dan iborat.

2-misol .Quyidagi tenglamani yeching:

_{ }

Yechilishi. Berilgan tenglamani yechish uchun _{ } almashtirish kiritamiz. U holda

_{ }

bo’lgani uchun

_{ }

bo’ladi va bundan tashqari _{ } ekanligi e’tiborga olinsa

_{ }

bo’lib,berilgan tenglama

_{ },

yoki

_{ }

ko’tinishni oladi. Hosil bo’lgan tenglamani yana bir bor differensiallash bilan

_{ }

ya’ni

_{ }

o’zgarmas koeffisiyentli differensial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasi

_{ }

va uning ildizlari

_{ }

bo’lgani uchun hosil qilingan oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi

_{ }
bo’ladi. Ammo _{ } bo’lgani uchun berilgan tenglamaning yechimi

_{ }

ko’rinishga ega.

Yuqorida keltirilgan misollarni yechilishidan foydalanib quyidagi teoremani isbotlash mumkin.

2-teorema. Ushbu

_{ } , _{ } (15)

ko’rinishdagi tenglamani integrallash mumkin.

Isboti. Berilgan tenglamani _{ } bo’yicha differensiallash natijasida

_{ } (16)

tenglama hosil bo’ladi. Berilgan (15) tenglamadan

_{ }

bo’lgani uchun bu tenglamani bir qator murakkab bo’lmagan hisoblaslar yordamida

_{ } (17)

Eyler tenglamasi ko’rinishida ifodalashimiz mumkin.

(17) tenglamada _{ } almashtirish kiritamiz. U holda

_{ }

bo’lgani uchun

_{ }

bo’ladi va bundan tashqari _{ } ekanligi e’tiborga olinsa

_{ }

tengliklar hosil bo’ladi. Bu tengliklarga ko’ra (17) tenglama

_{ } (18)

ko’rinishni oladi.

Endi _{ } boshlang’ich shart e’tiborga olinsa, u holda _{ } bo’lgani uchun _{ } bo’lganda _{ } va

_{ }

berilgan tenglamadan _{ } bo’lgani uchun _{ } tenglikdan _{ } ekanligini ko’ramiz.

Demak, (18) tenglamani

_{ } (19)

boshlang’ich shartlar bo’yicha integrallash mumkin. Teorema isbotlandi.

Isbotlangan teoremada hosil bo’lgan differensial tenglamani integrallaylik.

3-misol. Ushbu

_{  }

(18) tenglamani

_{ }

(19) boshlang’ich shartlar bo’yicha yeching.