N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

6-misol. Quyidagi tenglamani yeching.

_{ }

Yechilishi. (13) almashtirish bu tenglamani

_{ }

tenglamaga o’tadi. Bu tenglama mos bir jinsli qismining xarakteristik tenglamasi

_{ }

o’zaro qo’shma _{ } kompleks ildizlarga ega bo’lgani uchun uning umumiy yechimi

_{ }

ko’rinishga ega. Xususiy yechimini esa _{ } ko’rinishda izlaymiz va bu xususiy yechim _{ } bo’lgani uchun almashtirish natijasida hosil bo’lgan tenglamaning yechimi

_{ }

bo’lib, (13) almashtirishga ko’ra dastlabki tenglamaning yechimi

_{ }

funksiyadan iborat.

1.4-§.Involyutsiya tushunchasi va uning asosiy xossalari.
Qandaydir _{ }akslantirish berilgan bo’lib, bu akslantirishda _{ } nuqtaning tasviri _{ } nuqta bo’lsin. O’z navbatida _{ },_{ } ya’ni _{ } bo’lsin. Demak, _{ }akslantirish involyutiv akslantirish bo’lishi uchun quyidagi shartlarning biri o’rinli bo’lishi kerak:

1. 
   ixtiyoriy _{ } nuqta uchun
   

_{ } (17)

tenglikning bajarilishi yoki

2. 
   ixtiyoriy _{ } nuqta uchun _{ } munosabat bilan birgalikda
   

_{ } (18)

munosabat bajarilishi, ya’ni har qanday akslantirish o’ziga teskari akslantirish bilan ustma ust tushishi lozim.

Shu sababli ko’plab geometric adabiyotlarda, masalan [1] da o’ziga teskari akslantirishlar bilan bir xil bo’lgan akslantirishlarga involyutiv akslantirishlar deyiladi. Shuningdek geometriyada butun son o’qida aniqlangan haqiqiy argumentli (1) tenglikni qanoatlantiruvchi _{ } funksiyaga kuchli involyutsiya deyiladi.

Kuchli invoyutsiyalar to’plamini _{ } bilan belgilasak, u holda har bir _{ } funksiyaning grafigi _{ } to’g’ri chiziqga nisbatan simmetrik joylasgan bo’ladi. Agar _{ } bilan _{ } tekislikning _{ } to’g’ri chiziqga nisbatan simmetrik joylashgan funksiyalar to’plami bo’lib, bunda har bir _{ } element uchun bu to’plamning _{ } absissaga ega bo’lgan yagona nuqtasi mos kelsa, u holda _{ } to’plam _{ } to’plamdagi birorta _{ } involyutiv akslantirishning grafigi bo’ladi.

Kuchli invoyutiv akslantirish bo’ladigan _{ } akslantirishni quyidagi tartibda hosil qilishimiz mumkin. Faraz qilaylik haqiqiy o’zgaruvchili _{ } funksiya barcha tartiblangan _{ } haqiqiy nuqtalar to’plamida aniqlangan bo’lib, _{ } tenglikdan _{ } tenglik kelib chiqsin. Ma’lumki, xususiy holda _{ } tenglik bajarilsa , odatda _{ } funksiyaga simmetrik funksiya deyiladi. Agar har bir _{ } uchun _{ } tenglamani qanoatlantiruvchi _{ } funksiya mos kelsa, u holda _{ } bo’ladi. misollar keltiramiz:

1. _{ } bo’lsin. U holda _{ } tenglikdan _{ } tenglik kelib chiqganligi uchun _{ } bo’ladi;

2. _{ } bo’lsin. U holda _{ } tenglikdan _{ } tenglik kelib chiqganligi uchun _{ } bo’ladi. Yuqorida bayon etilganlardan tashqari _{ } munisabatlarni qanoatlantiruvchi involyutiv funksiyalarning to’plamining elementlari monoton lamayuvchi funksiyalardir, ya’ni

_{ } (19)

munosabatlar o’rinli. Endi quyidagi tasdiqni keltiramiz.

1-teorema. _{ } munosabatni qanoatlantiruvchi har bir uzliksiz _{ }kuchli involyutsiya yagona qo’zg’almas nuqtaga ega.

Isboti._{ } kuchli involyutsiya xossasiga ega bo’lgan uzluksiz monoton funksiya bo’lgani uchun uning grafigi _{ } to’g’ri chiziqga nisbatan simmetrik joylashgandir, ya’ni bu funksiya (19) munosabatni qanoatlantiradi. Ma’lumki, (19) tenglik yagona _{ } nuqta uchun o’rinli bo’lgani uchun _{ }, ya’ni _{ }. Teorema isbotlandi.

Demak, _{ } kuchli involyutsiya bo’lsa, u holda u yagona qo’zg’almas nuqtaga ega bo’lishini ko’rib o’tdik. Endi involyutsiyaning turlarini ko’rib chiqamiz. Buning uchun _{ } kasr chiziqli almashtirishni qaraymiz.

Kasr chiziqli almashtirish proyektiv tekislikning har bir _{ }nuqtasini uning _{ } nuqtasiga o’tkazsin, ya’ni _{ } va _{ } nuqtalari uchun

_{ }

tengliklar bajarilsin va shu bilan birgalikda _{ } bo’lsin. Aytilganlarga ko’ra koordinatalar bo’yicha

_{  }

tengliklarni yozamiz. O’z navbatida bu tengliklardan

_{ }

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Sistemaning birinchi tenglamasidan ikkinchi tenglamasini hadlab ayirib

_{ } yoki _{ }

tenglikni hosil qilamiz. Ammo _{  }bo’lgani uchun _{ } bo’ladi.

Demak, _{ } kuchli involyutiv akslantirish bo’lganligi uchun , u

_{ }

ko’rinishda bo’lishi lozim. Endi bu invoyutsiyaning qo’zg’almas nuqtalarini topamiz.

_{ } tenglik bajarilishi uchun

_{ },

ya’ni

_{ }

tenglik o’rinli bo’lishi kerak.

_{ }

belgilash kiritamiz. U holda quyidagi hollar bo’lishi mumkin:

1. 
   agar _{ } bo’lsa, u holda qaralayotgan involyutsiya ikkita haqiqiy qo’zg’almas nuqtalarga ega bo’ladi va bu involyutsiya giperbolik involyutsiya deyiladi;
   
2. 
   agar _{ } bo’lsa, u holda qaralayotgan involyutsiya yagona
   

haqiqiy qo’zg’almas nuqtaga ega bo’ladi va bu involyutsiya

parabolik involyutsiya deyiladi;

3. 
   agar _{ } bo’lsa, u holda qaralayotgan involyutsiya
   

haqiqiy qo’zg’almas nuqtaga ega bo’lmaydi va bu involyutsiya

elliptik involyutsiya deyiladi;

Bu mulohazalardan _{ }kuchli involyutsiya bo’lishi uchun u parabolik involyutsiya bo’lishi lozim. Demak, quyidagi tasdiq o’rinli.

2-teorema. Agar

_{ }

akslantirishda _{ } bo’lsa, u holda bu akslantirish kuchli involyutsiya bo’ladi.