N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

1.1-§.O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar.

Biz _{ }tartibli o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli

_{ } (1)

differensial tenglamani qaraymiz, bu yerda _{ }o’zgarmas kompleks sonlar, _{ } qandaydir oraliqda berilgan _{ } o’zgaruvchining kompleks funksiyasi.

1. 
   tenglamaning chap qismi _{ }tartibli chiziqli differensial operator deyiladi va _{ } kabi belgilanadi. (1) tenglamaning o’zi esa
   

_{ } (2)

ko’rinishda yoziladi.

Dastlab _{ } tartibli bir jinsli o’zgarmas koeffisiyentli tenglamani qaraymiz.

I.Bir jinsli tenglamalar. Har bir

_{ }

operatorga yoki bir jinsli

_{ } (3)

tenglamaga (3) tenglamaning yoki _{ } operatorning xarakteristik ko’phadi deb nomlangan

_{ } (4) ko’phadni mos qo’yamiz.

1-lemma. Ixtiyoriy _{ } marta uzluksiz differensiallanuvchi _{ } funksiya uchun quyidagi:

_{ } (5)

formula o’rinli.

Isboti. _{ } bo’lsin, u holda _{ } bo’lib, agar _{ } bo’lganda _{ } bo’lgani uchun

<sub> 

 </sub>

Biz bu yerda ikki funksiya ko’payitmasining _{ } tartibli hosilasini hisoblashda Leybnits formulasidan foydalandik.

Demak (5) formula _{ } xususiy hol uchun isbotlandi. (5) formulaning umumiy holda to’g’riligi _{ } operatorning _{ }ko’rinishdagi operatorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat ekanligidan kelib chiqadi.

Lemma isbotlandi.

2-lemma. _{ } soni _{ } xarakteristik ko’phadning _{ } karrali ildizi bo’lsa, u holda _{   } funksiyalar bir jinsli (3) tenglamaning yechimlari bo’ladi.

Isboti. _{ } soni _{ } xarakteristik ko’phadning _{ } karrali ildizi bo’lgani uchun _{ }

(5) formulani _{ } funksiyalarga tadbiq qilib,

_{ }

chunki _{ } bo’lganda _{ }. Lemma isbotlandi.

3-lemma. _{ } uchun _{ } bo’lsin. U holda _{ } soni xarakteristik ko’phadning karraligi _{ } dan kichik bo’lmagan ildizi bo’ladi.

Isboti. 1-lemmaga ko’ra

_{  }

chunki _{ } bo’lganda _{ }. Bundan tashqari _{ } bo’lganda _{ }. Shuning uchun

_{ }

Demak, _{ } xarakteristik ko’phadning _{ } dan kichik bo’lmagan ildizi bo’ladi.

Lemma isbotlandi.

Endi bir jinsli (3) tenglamaga qaytamiz. Aytaylik _{ } xarakteristik ko’phad _{ } ta turli _{ } ildizlarga ega bo’lsin. Bu ildizlarning karraliklarini

_{ } bilan belgilaymiz. U holda 2-lemmaga ko’ra

_{ } (6)

funksiyalar ham bir jinsli (3) tenglamaning yechimlari bo’ladi. _{ } bo’lgani uchun (6) formula (3) tenglamaning _{ } ta _{ } yechimlarini aniqlaydi.