N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

1-misol. Ushbu

_{ }

tenglamani yeching.

Yechilishi. Berilgan tenglamada _{ } ni _{ } bilan almashtirsak,
_{ }

tenglikni hosil qilamiz. Berilgan tenglamani differensiallash bilan

_{ }

yoki

_{ }

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimi

_{ }

ko’rinishga ega va bu yechimda _{ } ni _{ } bilan almashtirosh va differensiallash bizga

_{ } va _{ }

tengliklarni beradi. Berilgan tenglamaga ko’ra

_{ }

tenglikni hosil qilamiz. Bir qator hisoblashlardan so’ng bu tenglikdan

_{ }

Bundan _{ } bo’lgani uchun berilgan tenglamaning

umumiy yechimini

_{ }

ko’rinishda ifodalashimiz mumkin, bu yerda _{ }.

Javob: _{ }

Dissertatsiyaning uchinchi bobida taqdim etilayotgan ishning asosiy qismini tashkil qilgan bo’lib, bunda involyutsiya xossasiga ega bo’lgan xususiy hosilali eng sodda giperbolik tenglama uchun aralash masala qaralgan hamda masalaning klassik yechimi keltirilgan.

M.Sh.Burlutskaya va A.P.Khromov

_{ } (1)

_{ }, (2)

ko’rinishdagi , aralash masalani qaraymiz. Bu yerda quyidagi shartlar :

1) _{ } haqiqiy son va _{ } ;

2) _{ }haqiqiy funksiya;

3) _{ }va _{ }

bajariladi deb hisoblaymiz.

(1)-(2) masalaning yechimini topish uchun Fur’ye usulidan foydalanamiz. Fur’ye usuliga ko’ra _{ } belgilash kiritamiz. Natijada (1) tenglama

_{ } yoki

_{ }

ko’rinishda yozilishi mumkin. Oxirgi tenglikning chap qismi faqat _{ }ga , o’ng qismi esa faqat _{ } ga bog’liq funksiyalar bo’lgani uchun , bu tenglik o’zgarmas sondan iborat, ya’ni

_{ }

Bundan _{ } funksiya uchun

_{ } (3)

_{ } (4)

xos qiymatlar masalasini, _{ } funksiya uchun esa _{ } ifodani hosil qilamiz.

2. (3)- (4) masalaning yechimini topamiz. (3) tenglamada _{ } ni _{ } ga almashtirib, _{ } belgilashlar kiritsak,

<sub> 

 </sub>

tenglamalarni hosil qilamiz. Agar _{ } belgilash kiritsak, bu tenglamalarni vector matritsa usuli bilan

_{ },

yoki _{ } ga nisbatan

_{ } (5)

Drak sistemasi ko’rinishida yozishimiz mumkin, bu yerda

_{ } va _{ }.

Teskarisi ham o’rinli: agar _{ } funksiya (5) sistemaning yechimi bo’lib, _{ } tenglik bajarilsa, u holda _{ } funksiya (3) tenglamaning yechimi bo’ladi.