“myobius funksiasi va uning xossalari”

( V a Є G, 0 Є G ) a+0=a, yani G to’plamda neytral element no’l mavjud.

( V a Є G, (-a) Є G) a+(-a)=0, yani G to’plamning ixtiyoriy elementi uchun qarma-qarshi element mavjud. < G , + , 0> gruppaning ixtiyoriy a va b elementlari uchun a+b=b+a bo’lgani sababli < G , + , 0> algebra kamutativ gruppa bo’ladi. Qo’shish amaliga nisbatan qaralayotgan bunday guruppalar adetiv gruppalar deb ataladi.

4-ta’rif.
< G, τ, * > gruppaning biror M qism to’plami < G, τ, * >dagi algebraik amalga nisbatan grurppa tashkil etsa , M ga < G, τ, * > guruppaning qism gururppasi deyiladi.
Teorema.
< G, τ, * > gruppaning qism to’plami < G, τ, * > da qism gururppa tashkil etishi uchun quyidagi ikkita shart bajarilishi zarur va yetarli: 1. h τ h’ Є M ( V h, h’ Є M);
2. V h Є M h^-1 Є M (M ning istalgan h elementiga teskari bo’lgan h^-1element ham M ga tehishli).
I sboti. M to’plam gruppa bo’lsa M c < G, τ, * > yuqoridagi ikkita shart albatta bajariladi. Faraz qilaylik , yuqoqridagi ikkita shart bajarilsin. U holda V h Є < G, τ, * > uchun h τ h^-1 Є M bo’ladi. M c < G, τ, * > bo’lgani uchun istalhan h,h^’,h^” Є M lar uchun h τ (h^’ τ h^”) = (h τ h^’) τ h^”tenglik bajariladi. Demak M gruppa. < G, τ, * > gruppaning qism gruppalari to’plami bo’sh to’plam emas, chunki < G, τ, * > ning o’zi va uning birlik (neytral) elementidan {e} gruppalar < G, τ, * > uchun qism gruppa bo’ladi.
Gruppa ta’rifi, asosiy xossalari.
Chekli yoki cheksiz G toplamda bitta algebraic amal aniqlangan deb faraz qilamiz. Demak, bu amal G to’plamda bajariluvchan va bir qiymatlidir. Bu yerda ham algebraic amalni ko`paytirish deb atab, istalgan ikkita a,b∈ G element ko’paytmasini aˑb yoki ab ko’rinishda belgilaymiz. Shunday qilib, ∀ a,bϵG element ko’paytmasi G ning yagona elementiga tengdir.
1-Ta’rif. Quyidagi ikkita aksiomaga bo’ysunuvchi chekli yoki cheksiz G to’plam yarimgruppa deyiladi:
1)∀ a,b∈ G (a,b∈ G va bir qiymatli);
2)∀ a,b,c ∈ G ((ab)c=a(bc)).
Demak, G yarim gruppada bitta algebraic amal aniqlangan va G ning elementlarini ko’paytirish assotsiativdir.
Masalan, butun sonlar to’lami yolg’iz qo’shish amali yoki yolg’iz ko’paytirish amaliga nisbatan yarim gruppa tashkil qiladi, P sonli maydon ustida n- tartibli kvadrat matritsalar to’plami ham matritsalarni qo’shish yoki ko’paytirishga nisbatan yarim gruppa tashkiletadi.
2-Ta’rif. Quyidagi to’rtta aksiomaga bo’ysunuvchi chekli yoki cheksiz G to’plam gruppa deyiladi:
1)∀ a,b∈ G (a,b∈ G va bir qiymatli)(G ga algebraic amal aniqlangan);
2)∀ a,b,c∈ G ((ab)c=a(bc))(Gda ko’paytirish assotsiativ);
3)∀ a∃e∈G (ae=a) (G da o’ng birlik element mavjud);
4)∀ a∃x∈ G (ax=e) (har bir a ∈ G element uchun G da o’ng teskari element mavjud).
a,b,c,d,… elementlardan tuzilgan G gruppa {a,b,c,d,...}G ko`rinishda belgilanadi.
G gruppada ko’paytirish amali kommutativ bo’lishi shart emas.
Agar gruppa yana ba)G (ab a,b talabni ham qanoatlantirsa, G ni kommutativ gruppa (yoki Abel gruppasi), ba)G (ab a,b bo`lgan holda G ni
Nokommutativ gruppa deyiladi.
G gruppaning ba)(ab tenglikni qanoatlantiruvchi a va b elementlari o`rin almashinuvchi elementlar, ba)(ab bo`lgan holda esa ularni o`rin almashinmas elementlar deyiladi. G gruppaning quyidagi asosiy xossalarini ko`rib o`tamiz. 1. G gruppaning ℯ o`ng birligi chap birlik ham bo`ladi. Haqiqatan, 3-aksioma bo`yicha ℯℯℯ yoki 4-aksiomada aytilgan ℯ ax ga muvofiq, ax (1)eax Yana 4-aksiomaga ko`ra exy bo`lgani sababli (1) dan ushbuni hosil qilamiz:
ℯa(xy) =a(xy), ℯaℯ =aℯ yoki ℯa=a. Demak, ∀ a ∈ G element uchun o’ng birlik vazifasini bajaruvchi ℯ element chap birlik ham bo’ladi.
G da yagona birlik element mavjud chunki, ℯ va ℯ’ birlik elementlar bo’lsa, ℯℯ’=ℯ ‘ va ℯℯ’ =ℯ dan ko’paytmaning bir qiymatligiga asosan darhol ℯ’=ℯ kelib chiadi.
2. Har bir a∈ G elementning o’ng teskari elementi chap teskari element vazifasini ham bajaradi. Haqiqatan ham, a𝓍 =ℯ bilan birga, 4-aksiomaga muvofiq
𝓍 𝓎 =ℯ (2)
bo’ladi. Buning ikkala tomonini chapdan ga ko’paytirib, quyidagiga ega bo’lamiz: (𝒶𝓍) =𝒶ℯ, ℯ𝓎 =𝒶 yoki 𝓎=. Demak, (2) 𝓍𝒶 =ℯ ko’rinishni oladi, ya’ni 𝓍 element 𝒶 ning chap teskari elementi vazifasini ham bajaradi.
𝒶 ga yagona teskari element mavjud, chunki 𝓍 va 𝓍’ ni 𝒶 ga teskari elementlar desak, 𝓍‘=𝓍’ℯ =𝓍’(𝒶𝓍)=(𝓍’𝒶)𝓍=ℯ𝓍=𝓍 bo’ladi. 𝒶 ga yagona teskari element 𝒶^-1 ko’rinishda blgilanadi. Shunday ^qilib,
𝒶𝒶^-1=𝒶^-1𝒶=ℯ
𝒶 va 𝒶^-1 o’zaro teskari elementlar deyiladi.
3. 𝒶𝒷=𝒷𝒶 dan ^-1𝒷=𝒷𝒶^-1 va 𝒶^-1𝒷^-1=𝒷^-1𝒶^-1 kelib chiqadi.
Haqiqatan, 𝒶𝒷=𝒷𝒶 ni chap va o’ng tomondan 𝒶^-1 ga ko’paytirsak, quyidagini hosil qilamiz:
𝒷𝒶 ^-1=𝒶^-1𝒷 (3)
Endi (3) ni chap va o’ng tomondan ^-1 ga ko’paytirsak, quyidagini hosil qilamiz:
𝒶^-1𝒷^-1=𝒷 ^-1𝒶^-1
4. 𝒶𝓍 =𝒷 va 𝓎𝒶 =𝒷 tenglamalar mos ravishda yagona 𝓍 =𝒶 ^-1𝒷 va 𝓎=𝒷𝒶 ^-1 yechimlarga ega.
Bu yechimlar 𝒶𝓍 =𝒷 ni chap tomondan, 𝓎𝒶 =𝒷 ni esa o’ng tomondan 𝒶^-1 ga ko’paytirish bilan hosil qilinadi.
5. 𝒶_1, 𝒶₂,…,_k ∈ G element_larni ko’paytirish umuman assotsiativdir.
Haqiqatan ham, (𝒶₁𝒶₂)𝒶₃ = 𝒶₁(𝒶₂𝒶₃) ni 𝒶₁𝒶₂𝒶₃ ko’rinishda yoza olamiz. Endi uchta elementni ko’paytirish assosiativ bo’lganidan, (𝒶₁𝒶₂𝒶₃)𝒶₄ =(𝒶₁𝒶₂)(𝒶₂𝒶₄) =𝒶₁(𝒶₁ 𝒶₂ 𝒶₃) va hokazo. Demak, 𝓀 ta element ko’paytmasini qavssiz yoza olamiz:
_{ }
6. G ning _{ } ta elementini ko’paytirish bajariluvdan va bir qiymatli _{ } va bir qiymatli;
_{ } va bir qiymatli;
_{ } va bir qiymatli va hokazo.
7. _{ } elementlarning _{ } ko’paytmasiga teskari element _{ } bo’ladi.
Buni tekshirib ko’rsak, _{ }( 
Bo’ladi. Shunday qilib, _{ } dir.
Xususiy holda _{ } .
8. _{ } ko’paytmani _{ } ko’rinishda yozib, _{ } elementning darajasi deymiz. Shuningdek, _{ } ni bunday ham yozamiz: _{ } .
U holda _{ } darajasiga ega bo’lamiz. Endi, _{ } uchun _{ } deb qabul qilamiz. Demak, _{ } elementning istalgan butun darajasi yana G ning elementi bo’ladi.
Quyidagilarni isbotlash oson:
_{ }
Bunda m va n- istalgan butun sonlar. Faqat o’rin almashinuvhi _{ } va _{ } elementlar uchungina _{ } bo’ladi.
Shuni ham aytib o’taylikki, _{ } va _{ } o’zaro teskari elementlardir, chunki
_{ }
Elementlarning soni chekli bo’lgan gruppa chekli gruppa, elementlari cheksiz ko’p bo’lgan gruppa cheksiz gruppa deyiladi. Gruppaning elementlari soni uning tartibi deyiladi. Shunday qilib, chekli va cheksiz tartibli gruppalar mavjud.
Misollar:
1.G butun sonlar to’plami sonlarni qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi, chunki ∀ m,n,k ∈ G uchun (m+n)+k=m+(n+k). Birlik element vazifasini nol soni bajaradi, chunki ∀ n ∈ G uchun n+0=n; har bir n elementga teskari element bo’lib, -n xizmat qiladi: n+(-n)=0 Bu gruppa cheksiz va kommutativdir.
2. Noldan tashqaribarcha ratsional sonlar to’plami G sonlarni ko’paytirish amaliga nisbatan cheksiz kommutativ gruppa tashkil qiladi, chunki istalgan _{ } va _{ } ikkita ratsional son uchun _{ } bo’lib , demak, _{ } va bir qiymatli; _{ } uchun _{ } da birlik elemnt vazifasini 1 soni bajaradi: _{ } ga teskari element _{ }dir _{ }
3. Noldan tashqari barcha haqiqiy sonlar to’plami, shuningdek, noldan
tashqari barcha kompleks sonlar to’plami ko’paytirishga nisbatan cheksiz kommutativ gruppalar tashkil etadi.
4. Birinchi misoldagidek, ratsional sonlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan cheksiz kommutativ gruppa tashkil etadi.
5. P sonly maydon ustida _{ }) matritsalar to’plami matritsalarni qo’shishga nisbatan cheksiz kommutativ gruppa hosil qiladi.
Funksiya.