“myobius funksiasi va uning xossalari”

Gruppalar
Bazi bir algeraik sistemalar algebraik ammallarning hossalari maktab maktab kurslarida ko’rib o’tolgan qo’shish va ko’paytirish ammalari xossalarga yaqin hossalar ega bo’ladi. Bunday algebraik sistemalariga qatoriga gruppa , xalqa , maydon , chiziqli fazo va chiziqli algebralar kiradi. Hozigi zamon algebrasining asosiy vazifalaridan biri yuqorida sanab o’tilgan algebraik sistemalarning asosiy xossalarini o’rganishdan iborat. Bu sistemalarning eng soddalaridan biri grupadir. Endi shu tushunchani bayon etishga kirishamiz. Bitta binar τ va bitta unar * algebraik amallarga ega bo’lgan bo’sh bo’lmagan G to’plam berilgan bo’lsin .
1-ta’rif.
A gar G to’plamda quydagi aksiomalar bajarila , u holda < G, τ, * > algebraic gruppa deyiladi. 1) (V a, b, c Є G) a τ (b τ c) = (a τ b) τ c , yani τ binar algebraik amal assotsativ ;
2 )( V a Є G e Є G ) a e = a = e τ a , yani τ algebraik amalga ko’ra xar bir a Є G element uchun uning chap va o’ng e neytral elementi mavjud.
3 ) ( V a Є G, a^* Є G ) a τ a^*= e = a^* τ a, yani istalgan a Є G uchun o’ng va chap simmetrik element mavjud.
. τ binar algebraik amal G to’plamda grupa xosil qiluvchi amal deb yuritiladi va u G to’plamda istalgan a va b elementlaridan tuzilgan tartiblangan ( a; b ) juftlikka yagona c Є G elementini mos qo’yadi.
2- ta’rif.
A gar < G, τ, * > gruppa bo’lib , gruppaning ta’rifidagi ( V a, b Є G) a τ b = b τ a kamutativlik sharti ham bajarilsa , u holda < G, τ, * > guruppa τ binar algebraic amalga nisbatan kamutativ guruppa yoki abel guruppa deyiladi. Gruppa ta’rifida uchraydigan G to’plam va unda qaralayotgan binar algebraik amalning tanlanishiga qarab bir qancha guruppa hosil qilish mumkin.

3-ta’rif .
Agar G to’plam elementlari τ binar algebraic amalga nisbatan assotssativ bo’lsa , < G , τ> algebra yarim gruppa deyiladi. Masalan , N to’plam qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan yarim gruppadir. Neytralga elementga ega bo’lgan yarim gruppa manoid deyiladi.
Masalan , (N,*,1) manoid bo’ladi. . τ binar algebraic amalni oddiy ko’paytirish amali bilan almashtirsak , xosil bo’lgan guruppa multiplikativ gruppa deb ataladi. Bunday holda a*b ga a va b elementlarning ko’paytmasi deyiladi . Ko’paytirish amaliga nisbatan neytral element 1 orqaliy belgilanadi. . τ binary algebraik amalni qo’shish amali bilan almashtirsak, gruppa aksiomalari quydagi ko’rinishni oladi:

1. 
   ( V a, b, c Є G) a+(b+c)=(a+b)+c , yani G to’plamdagi ixtiyoriy uchta elementni qo’shish assotsativ.
   
2.