Mustaqil ishi-2 Tayyorladi: Zarmasov S

3.Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz.

2-teorema. Aytaylik, 1) (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin; 2) (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin; 3)[a,b] oraliqda  (x)q <1 tengsizlik bajarilsin. Bu holda [a,b] oraliqda
x= (x) tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechimt_n= (t_n-1).
formulalar bilan aniqlanadi.
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.
Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t₀ qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a)^.f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz. 3)Tenglamani ko‘rinishga keltirib, (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b] da mavjudligini tekshiramiz va ni topamiz.
4) Agar q<1 bo‘lsa, ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  x_n- x_n-1 < shart bajarilguncha davom ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.
Misol.

Iteratsiya usuli bilan 5x³-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10^-4 aniqlikda toping.

Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz.
Bunda funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning uchun, shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.
[0,1] intervaldan olingan x₀ nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x₀=0.5; Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz uzoqlashuvchi iteratsion jarayon yaqinlashuvchi iteratsion jarayonBundan ko’rishimiz mumkinki, faqat funksiya yaqinlashuvchi ekanni hisoblaymiz va shartni tekshiramiz. Bu jarayonni shart bajarilguncha davom ettiramiz.

4. Nyuton va Vatarlar usuli

[a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan.
Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda x₁ va  ga mos nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x₁] yoki [x₁, b] olinsa, avvalgi [a, b] kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin bo’ladi.
T englamaning [a, b] ajratilgan ildizini  aniqlikda hisoblash uchun x₀ boshlang’ich yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek f(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm) yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x₀=b, qolgan hollarda x₀=a qilib olish kerak (1-b va 1-c rasmlar).
Birinchi x₀=a bo’lgan holda x=b qo’zg’almas nuqta bo’ladi va ildizga keyingi yaqinlashishlar formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0, 1, 2, … yaqinlashish tartibi, x_n-n – tartibli yaqinlashish.
Ikkinchi, x₀=b bo’lgan holda x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi yaqinlashishlar formula bilan hisoblanadi.
Yaqinlashish jarayoni |x_n-x_n-1|≤ shart bajarilguncha davom etadi.
Bunda =b