Musbat hadli qatorlar Tayanch so’z va iboralar

. Umumlashgan garmonik qator deb ataluvchi

qatorni yaqinlashishga tekshiring.

Yechish. va ekanligi ravshan, bu yerda r-haqiqiy son.

Ushbu

xosmas integralni hisoblaymiz.

Agar r>1 bo‘lsa, u holda va yaqinlashuvchi;

Agar r<1 bo‘lsa, u holda va uzoqlashuvchi;

Agar r=1 bo‘lsa, u holda uzoqlashuvchi.

Shu sababli umumlashgan garmonik qator r>1 bo‘lsa yaqinlashuvchi, r1 bo‘lsa uzoqlashuvchi bo‘ladi.

6. Raabe alomati.

6-teorema. (1) qatorning hadlari musbat va bo‘lsin. U holda

1. 
   agar r > 1 bo‘lsa, (1) qator yaqinlashuvchi;
   
2. 
   agar r < 1 bo‘lsa, (1) qator uzoqlashuvchi
   

bo‘ladi.

Misol. 1+ qatorni yaqinlashishga tekshiring.

Yechish. Bu qator uchun Dalamber alomati natija bermaydi, chunki . Raabe alomatini tatbiq etamiz:

r = . Demak, r=1,5 > 1 bo‘lganligi uchun qator yaqinlashuvchi.
7. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar.

1-ta’rif. Ushbu

(1)

bu yerda musbat sonlar, qator ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi.

Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar uchun quyidagi teorema o‘rinli:

1-teorema (Leybnis teoremasi). Agar ishoralari navbatlashuvchi

qatorda

1) qator hadlarining absolyut qiymatlari kamayuvchi, ya’ni

(2)

bo‘lsa,

2) qatorning umumiy hadi da nolga intilsa:

(3)

u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Isboti. , ya’ni juft bo‘lsin. U holda S_2m ni quyidagicha yozib olamiz: . (2) shartga ko‘ra u_2m-1-u_2m>0 (m=1,2,…), demak va xususiy yig‘indilar ketma-ketligi {} o‘suvchi bo‘ladi.

Endi xususiy yig‘indini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

.

Yana (2) shartga ko‘ra tengsizlikni hosil qilamiz.

Shunday qilib, {} xususiy yig‘indilar ketma-ketligi o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan. Demak, , shu bilan birgalikda

Endi toq indeksli {} xususiy yig‘indilar ketma-ketligi ham S limitga intilishini ko‘rsatamiz.

Haqiqatan ham,

=+

bo‘lgani uchun da

=+==

ga ega bo‘lamiz, bunda (3) shartga ko‘ra

Demak, , qator yaqinlashuvchi.

1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.

Yechish. va .

Demak, yuqoridagi teoremaga asosan qator yaqinlashuvchi.

Endi ixtiyoriy hadli qatorlarni qaraylik.

2-teorema. Agar ixtiyoriy hadli

(4)

qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

(5)

qator yaqinlashsa, u holda berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Isboti. va mos ravishda (4) va (5) qatorlarning n-xususiy yig‘indilari bo‘lsin. bilan barcha musbat va bilan xususiy yig‘indidagi barcha manfiy ishorali hadlar qiymatlari yig‘indisini belgilaymiz. U holda = -, =+ bo‘ladi.

Shartga ko‘ra, (5) qator yaqinlashuvchi, shu sababli {} xususiy yig‘indilar ketma-ketligi limitga ega.

{} va {} lar esa musbat va o‘suvchi, shu bilan birgalikda < va < (chegaralangan), demak, ular ham limitga ega:

= - munosabatdan {} ham limitga egaligi kelib chiqadi:

= -.

2-ta’rif. Ixtiyoriy hadli

(4)

qator hadlari absolyut qiymatlaridan tuzilgan

(5)

qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, (4) qator absolyut yaqinlashuvchi qator deyiladi.

3-ta’rif. Agar ixtiyoriy hadli (4) qator yaqinlashuvchi bo‘lib, bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan (5) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda (4) qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.

O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar

1. 
   Musbat hadli sonli qator deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Musbat hadli sonli qatorning yaqinlashuvchanligini tekshirishning taqqoslash alomatini bayon qiling.
   
3. 
   Musbat hadli sonli qator uchun Koshi alomatini bayon qiling.
   
4. 
   Musbat hadli sonli qator uchun Dalamber alomatini aytib bering.
   
5. 
   Koshining integral alomati nimadan iborat?
   
6. 
   O‘zgaruvchi ishorali sonli qator deb qanday sonli qatorga aytiladi?
   
7. 
   Leybnits teoremasini ifodalang.
   
8. 
   Absolyut yaqinlashuvchi qator deb nimaga aytilad?
   
9. 
   Shartli yaqinlashuvchi qator nimadan iborat.
   
10. 
    Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlarning xossalarini bayon qiling.