Musbat hadli qatorlar Tayanch so’z va iboralar

-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.

Yechish. .

Qator uzoqlashuvchi.

5. Koshining integral alomati.

5-teorema. Agar funksiya [1;) oraliqda nomanfiy, integrallanuvchi, monoton kamayuvchi hamda qator hadlari uchun tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda qator va xosmas integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo‘ladi; yaqinlashuvchi bo‘lgan holda

  +a₁ (9)

munosabat o‘rinli bo‘ladi.

Isboti. funksiya monoton kamayuvchi, demak kxk+1 tengsizliklardan f(k)  f(x)  f(k+1) kelib chiqadi. Bu qo‘sh tengsizlikni k dan k+1 gacha integrallab,

  , yoki f(k)=a_k bo‘lganligi uchun a_k   a_k+1 qo‘sh tengsizliklarga erishamiz. So‘ngi tengsizliklarni k=1, 2, , n uchun yozamiz:

a₁   a₂,

a₂   a₃,

. . . . . . . . . . . . . . .

a_n   a_n+1.

Bularni hadma-had qo‘shib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

S_n   S_n+1-a₁ (10)

Quyidagi hollarni qaraymiz.

1) integral yaqinlashuvchi va I ga teng. U holda I va S_n+1 I+a₁=C, yoki barcha natural n larda S_n  I. Demak, {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, bundan musbat qator yaqinlashuvchi.

Va aksincha, agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, demak umumiy hadi I_n+1= bo‘lgan monoton o‘suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi, ya’ni integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.

2) integral uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda S_n  tengsizlikdan {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan, bundan qator uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Agar da qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda uning xususiy yig‘indilaridan iborat {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan, demak, umumiy hadi I_n+1= bo‘lgan ketma-ketlik ham chegaralanmagan. Bundan integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.

Qator yaqinlashuvchi bo‘lgan holda (10) qo‘shtengsizlikda n limitga o‘tib,

S   S-a₁ munosabatga, bundan (9) ga ega bo‘lamiz.

6-misol