Musbat hadli qatorlar Qator yig’indisi

5. Koshining integral alomati.
5-teorema. Agar funksiya [1;) oraliqda nomanfiy, integrallanuvchi, monoton kamayuvchi hamda qator hadlari uchun tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda qator va xosmas integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo‘ladi; yaqinlashuvchi bo‘lgan holda
  +a₁ (9)
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. funksiya monoton kamayuvchi, demak kxk+1 tengsizliklardan f(k)  f(x)  f(k+1) kelib chiqadi. Bu qo‘sh tengsizlikni k dan k+1 gacha integrallab,
  , yoki f(k)=a_k bo‘lganligi uchun a_k   a_k+1 qo‘sh tengsizliklarga erishamiz. So‘ngi tengsizliklarni k=1, 2, , n uchun yozamiz:
a₁   a₂,
a₂   a₃,
. . . . . . . . . . . . . . .
a_n   a_n+1.
Bularni hadma-had qo‘shib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
S_n   S_n+1-a₁ (10)
Quyidagi hollarni qaraymiz.
1) integral yaqinlashuvchi va I ga teng. U holda I va S_n+1 I+a₁=C, yoki barcha natural n larda S_n  I. Demak, {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, bundan musbat qator yaqinlashuvchi.
Va aksincha, agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, demak umumiy hadi I_n+1= bo‘lgan monoton o‘suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi, ya’ni integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2) integral uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda S_n  tengsizlikdan {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan, bundan qator uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Agar da qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda uning xususiy yig‘indilaridan iborat {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan, demak, umumiy hadi I_n+1= bo‘lgan ketma-ketlik ham chegaralanmagan. Bundan integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
Qator yaqinlashuvchi bo‘lgan holda (10) qo‘shtengsizlikda n limitga o‘tib,
S   S-a₁ munosabatga, bundan (9) ga ega bo‘lamiz.
6-misol. Umumlashgan garmonik qator deb ataluvchi

qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. va ekanligi ravshan, bu yerda r-haqiqiy son.
Ushbu

xosmas integralni hisoblaymiz.
Agar r>1 bo‘lsa, u holda va yaqinlashuvchi;
Agar r<1 bo‘lsa, u holda va uzoqlashuvchi;
Agar r=1 bo‘lsa, u holda uzoqlashuvchi.
Shu sababli umumlashgan garmonik qator r>1 bo‘lsa yaqinlashuvchi, r1 bo‘lsa uzoqlashuvchi bo‘ladi.


6. Raabe alomati.
6-teorema. (1) qatorning hadlari musbat va bo‘lsin. U holda

1. 
   agar r > 1 bo‘lsa, (1) qator yaqinlashuvchi;
   
2. 
   agar r < 1 bo‘lsa, (1) qator uzoqlashuvchi
   

bo‘ladi.
Misol. 1+ qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qator uchun Dalamber alomati natija bermaydi, chunki . Raabe alomatini tatbiq etamiz:
r = . Demak, r=1,5 > 1 bo‘lganligi uchun qator yaqinlashuvchi.