Musbat hadli qatorlar Qator yig’indisi

3. Dalamber alomati.
3-teorema. Agar
(3)
qatorning (n+1)-hadining n-hadiga nisbati da chekli limitga ega, ya’ni
(4)
bo‘lsa, u holda
1) da qator yaqinlashadi;
2) da qator uzoqlashadi.
Isbot. Teorema shartiga ko‘ra (4) tenglik o‘rinli. Limitning ta’rifiga ko‘ra ixtiyoriy >0 son uchun shunday n₀ natural son topilib, barcha n>n₀ larda quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:
l- < a_n+1/a_n < l+ (5)
1) Agar bo‘lsa, u holda shunday >0 son topilib, q=l+<1 bo‘ladi. U holda shu >0 songa mos n₀ natural son topilib, barcha n>n₀ larda a_n+1/a_n < q tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan

Endi, |q|<1 da qator yaqinlashishidan = qatorning, demak, qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi.
2) Agar bo‘lsa, u holda shunday  > 0 topilib, q =l- > 1 bo‘ladi. (3) munosabatdan barcha n>n₀ larda a_n+1/a_n > q tengsizlik, yoki a_n+1>a_nq tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa biror haddan boshlab qator hadlari o‘suvchi ekanligini anglatadi. Demak, qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi. Qator uzoqlashuvchi.
l=1 bo‘lgan holda bu alomat qatorning yaqinlashuvchi bo‘lish-bo‘lmasligini aniqlash imkonini bermaydi.
4-misol. Qatorni yaqinlashishga tekshiring:

Yechish. Ravshanki, , . (4) formuladan quyidagini topamiz:
.
Demak, qator uzoqlashuvchi.
Qatorning yaqinlashishi to‘g‘risida Dalamber alomati asosida xulosa chiqarish mumkin emas. Taqqoslash alomatiga ko‘ra (masalan, garmonik qator bilan taqqoslang), qatorning uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rish mumkin.


4. Koshining radikal alomati.
4-teorema. Agar
(6)
musbat hadli qator uchun

chekli limit mavjud bo‘lsa, u holda p<1 da berilgan qator yaqinlashuvchi, p>1 da esa uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik p<1 bo‘lsin. Ushbu p<q<1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror q sonni tanlaymiz. U holda bo‘lganligi sababli n=k nomerdan boshlab, yoki
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa
(7)
munosabatlar o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
0<q<1 bo‘lganligi sababli,
(8)
geometrik qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Qaralayotgan (6) qatorning k-hadidan boshlab barcha hadlari ((7) munosabatga ko‘ra) (8) qatorning mos hadlaridan kichik. Demak taqqoslash alomatiga ko‘ra (6) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Endi p>1 bo‘lsin. U holda bo‘lganligi sababli, biror n=k nomerdan boshlab bo‘ladi. Bundan . Demak (6) qatorning umumiy hadi da nolga intilmaydi, ya’ni (6) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1-izoh. Agar bo‘lganda (6) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki bu holda ham biror k nomerdan boshlab bo‘ladi.
2-izoh. mavjud bo‘lmagan yoki mavjud va 1 ga teng bo‘lgan holda, Koshi alomati qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligi haqidagi masalaga javob bermaydi.
Haqiqatdan ham, masalan qator yaqinlashuvchi, lekin .
1+1+ 1+…+1… qator uzoqlashuvchi, lekin bu qator uchun .
5-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. .
Qator uzoqlashuvchi.