Murakkab funksiyadan hosila olish qoidalari

Birinchi qadam, bu murakkab funksiyaning hosilasini topishda bajarilishi kerak to qaysi funktsiya ichki va qaysi tashqi ekanligini tushunish.
Oddiy misollarda, ko'phad sinus ostida joylashganligi aniq ko'rinadi. Ammo bu aniq bo'lmasa-chi? Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun men aqliy yoki qoralama ustida bajarilishi mumkin bo'lgan quyidagi texnikadan foydalanishni taklif qilaman.
Tasavvur qilaylik, biz kalkulyator yordamida ifoda qiymatini hisoblashimiz kerak (bitta o'rniga har qanday raqam bo'lishi mumkin).
Avval nimani hisoblaymiz? Birinchidan siz quyidagi amalni bajarishingiz kerak bo'ladi: , shuning uchun polinom ichki funktsiya bo'ladi:

Ikkinchidan siz topishingiz kerak bo'ladi, shuning uchun sinus - tashqi funktsiya bo'ladi:

Bizdan keyin TUSHUNING Ichki va tashqi funksiyalar bilan birikma funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash vaqti keldi.

Biz qaror qabul qilishni boshlaymiz. Darsdan hosilani qanday topish mumkin? Biz har qanday hosila eritmasining dizayni har doim shunday boshlanishini eslaymiz - biz iborani qavs ichiga olamiz va yuqori o'ng tomonga chiziq qo'yamiz:

Boshida tashqi funktsiyaning hosilasini (sinus) topamiz, elementar funksiyalarning hosilalari jadvaliga qarang va e'tibor bering. Barcha jadval formulalari "x" murakkab ifoda bilan almashtirilsa ham amal qiladi, Ushbu holatda:

E'tibor bering, ichki funktsiya o'zgarmagan, biz unga tegmaymiz.
Xo'sh, bu juda aniq
Formulani qo'llashning yakuniy natijasi quyidagicha ko'rinadi:
Doimiy omil odatda ifoda boshida qo'yiladi:
Agar biron bir tushunmovchilik bo'lsa, qarorni qog'ozga yozing va tushuntirishlarni qayta o'qing.
2-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
3-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Har doimgidek, biz yozamiz:

Bizda tashqi funksiya qayerda, ichki funksiya qayerda ekanligini aniqlaymiz. Buning uchun biz (aqliy yoki qoralama ustida) uchun ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilamiz. Avval nima qilish kerak? Avvalo, asos nimaga teng ekanligini hisoblashingiz kerak:, ya'ni polinom ichki funktsiyadir:

Va shundan keyingina eksponentatsiya amalga oshiriladi, shuning uchun quvvat funktsiyasi tashqi funktsiyadir:

Formulaga ko'ra, avval siz tashqi funktsiyaning hosilasini, bu holda darajani topishingiz kerak. Biz jadvalda kerakli formulani qidiramiz:. Yana takrorlaymiz: har qanday jadval formulasi nafaqat "x" uchun, balki murakkab ifoda uchun ham amal qiladi. Shunday qilib, murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llash natijasi quyidagicha:
Yana bir bor ta'kidlaymanki, tashqi funktsiyaning hosilasini olganda, ichki funktsiya o'zgarmaydi:

Endi ichki funktsiyaning juda oddiy hosilasini topish va natijani biroz "tarash" qoladi:

4-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).
Murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi tushunchani mustahkamlash uchun men izohlarsiz misol keltiraman, buni o'zingiz aniqlashga harakat qiling, sababi, tashqi va ichki funksiya qayerda, nima uchun vazifalar shunday hal qilingan?
5-misol
a) Funksiyaning hosilasini toping
b) funksiyaning hosilasini toping


6-misol
Funktsiyaning hosilasini toping 
Bu erda bizda ildiz bor va ildizni farqlash uchun u daraja sifatida ifodalanishi kerak. Shunday qilib, biz birinchi navbatda funktsiyani farqlash uchun to'g'ri shaklga keltiramiz:

Funksiyani tahlil qilib, biz uchta hadning yig'indisi ichki funktsiya, ko'rsatkich esa tashqi funktsiya degan xulosaga kelamiz. Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz:

Daraja yana radikal (ildiz) sifatida ifodalanadi va ichki funktsiyaning hosilasi uchun biz yig'indini farqlash uchun oddiy qoidani qo'llaymiz:

Tayyor. Siz hali ham iborani qavs ichida umumiy maxrajga keltirishingiz va hamma narsani bitta kasr sifatida yozishingiz mumkin. Bu, albatta, go'zal, lekin og'ir uzun lotinlar olinganda, buni qilmaslik yaxshiroqdir (chalkashib ketish, keraksiz xatoga yo'l qo'yish oson va o'qituvchiga tekshirish noqulay bo'ladi).

7-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).
Shunisi qiziqki, ba'zida murakkab funktsiyani farqlash qoidasi o'rniga, qismni farqlash qoidasidan foydalanish mumkin.  , lekin bunday yechim kulgili buzuqlik kabi ko'rinadi. Mana odatiy misol:
8-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Bu erda siz qismni farqlash qoidasidan foydalanishingiz mumkin  , lekin hosilani murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasi orqali topish ancha foydalidir:
Biz funktsiyani farqlash uchun tayyorlaymiz - hosilaning minus belgisini olib tashlaymiz va kosinusni hisoblagichga ko'taramiz:

Kosinus - ichki funktsiya, ko'rsatkich - tashqi funktsiya.

Keling, qoidamizdan foydalanamiz:

Biz ichki funktsiyaning hosilasini topamiz, kosinusni pastga qaytaramiz:

Tayyor. Ko'rib chiqilgan misolda, belgilarda chalkashmaslik kerak. Aytgancha, uni qoida bilan hal qilishga harakat qiling  , javoblar mos kelishi kerak.

9-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).
Hozirgacha biz murakkab funktsiyada faqat bitta uyaga ega bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdik. Amaliy topshiriqlarda siz ko'pincha lotinlarni topishingiz mumkin, bu erda, xuddi qo'g'irchoqlar kabi, bir vaqtning o'zida 3 yoki hatto 4-5 funktsiya bir-birining ichiga joylashtirilgan.
10-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Biz ushbu funktsiyaning qo'shimchalarini tushunamiz. Eksperimental qiymatdan foydalanib, ifodani baholashga harakat qilamiz. Kalkulyatorga qanday ishonishimiz mumkin?
Avval siz topishingiz kerak, ya'ni arksine eng chuqur uyasi:
Keyin bu birlik yoyi kvadratiga aylantirilishi kerak:
Va nihoyat, ettitani kuchga ko'taramiz:

Ya'ni, bu misolda bizda uchta turli funktsiya va ikkita uyalar mavjud, eng ichki funktsiya arksinus, eng tashqi funktsiya esa eksponensial funktsiyadir.

Biz qaror qabul qilishni boshlaymiz
Qoidaga ko'ra, siz birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini olishingiz kerak. Biz hosilalar jadvalini ko'rib chiqamiz va ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini topamiz: Yagona farq shundaki, "x" o'rniga bizda murakkab ifoda mavjud bo'lib, bu formulaning haqiqiyligini inkor etmaydi. Demak, kompleks funksiyani differentsiallash qoidasini qo‘llash natijasi quyidagicha bo‘ladi:
Chiziq ostida bizda yana qiyin vazifa bor! Ammo bu allaqachon osonroq. Ichki funktsiya arksinus, tashqi funksiya esa daraja ekanligini tushunish oson. Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra, siz birinchi navbatda daraja hosilasini olishingiz kerak.
Hosila topish operatsiyasi differensiallash deyiladi.
Hosilni argumentning o'sish ko'payishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlash orqali eng oddiy (va unchalik ham oddiy bo'lmagan) funktsiyalarning hosilalarini topish masalalarini hal qilish natijasida hosilalar jadvali va aniq belgilangan differentsiallash qoidalari paydo bo'ldi. . Isaak Nyuton (1643-1727) va Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) hosilalarni topish sohasida birinchi bo‘lib ishlaganlar.
Shuning uchun bizning zamonamizda har qanday funktsiyaning hosilasini topish uchun funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbatining yuqorida ko'rsatilgan chegarasini hisoblash shart emas, faqat jadvaldan foydalanish kerak. hosilalari va farqlash qoidalari. Hosilni topish uchun quyidagi algoritm mos keladi.