Mundarija: Kirish: I. Bob. Interval arifmetika asoslari

1.2. Interval arifmetikasini umumlashtirish


Nostandart ayirish va bo‘lish bilan berilgan interval arifmetika
Nostanart ayirish - va bo‘lish, : berilgan elementlar bo‘yicha quyidagi ko‘rinishda beriladi:

Quyidagicha belgilash kiritamiz va uning bir qancha + va : amallari bilan bog‘liq xossalarini ko‘rsatamiz:

1.
2. uchun , ,
(tarif bo‘yicha ).
3. Ushbu tenglikdan tenglik kelib chiqmydi; masalan,

4. uchun tenglama yagona echimga ega: .
5. uchun tenglama ko‘rinishdagi echimga ega. bo‘lganda bu tenglama yana bitta ildizga ega: .
6. Ushbu tenglama ko‘rinishdagi echimga ega. Agar bo‘lsa, u xolda yana bir ildiz mavjud: .
7. tenglik bajariladi, fakat va faqat yoki bo‘lsa.
8.
9. uchun , bo‘ladi. (ta’rifga ko‘ra ).
10. Ushbu tenglikdan kelib chikmaydi; masalan,

elementlar uchun quyidagi ko‘rinishda funksiyani keltiramiz:

11. tenglama bo‘lganda ko‘rinishdagi echimga ega bo‘ladi faqat va faqat bo‘lsa.
12. tenglama bo‘lganda ko‘rinishdagi echimga ega. Agar bulsa, u xolda ko‘rinishdagi yana bir echimga ega.
13. tenglama ko‘rinishdagi echimga ega. Agar bo‘lsa, u xolda ko‘rinishdagi yana bir echimga ega.
14. bo‘ladi faqat va faqat yoki bo‘lsa.


1.3 Interval sonlar ustida arifmetik amallar. Klassik interval arifmetika va uning algebraik xossaiari

Agar bo'lsa, u holda a va b intervallar uchun arifmetik amallar quyidagicha ifodalanadi:

(1.3.13)
Bunda bo'lish amalida .
va bo'lsa, u holda (1.3.13) formula mos hollarda, quyidagi formulalarga ekvivalentdir:


,
. (1.3.14)
Agar a va b intervallarda chap va o'ng chegaralari o'zaro teng bo'lsa, ya'ni a= a, b = b bo'lsa, u holda (1.3.14) formulalar haqiqiy sonlar ustidagi arifmetik amallarni aniqlovchi formulalarni ifodalashini ko'rish qiyin emas.
Demak, interval son haqiqiy sonning umumlashmasi, interval arifmetika esa haqiqiy arifmetikaning umumlashmasidir.
Interval qo'shish va ko'paytirish amallari assotsiativlik va kommutativlik qonuniyatlariga bo'ysunadi. Ya'ni, bo'lsa, u holda



.
Interval sonni butun darajaga ko'tarish quyidagi formula asosida amalga oshiriladi

a”= =

(l.3.13)-(1.3.14) formulalar bilan aniqlangan interval arifmetika, interval analizga tegishli adabiyotlarda, klassik interval arifmetika yoki R. Mur arifmetikasi ham deb yuritiladi.

(l.3.13)-(1.3.14) formulalarni tahlili shuni ko'rsatadiki, interval arifmetikada: qo'shish amali, ayirish amaliga, ko'paytirish amali esa bo'lish amaliga teskari emasdir. Ya'ni,
Chunki,
formuladan ko'rinib turibdiki, intervallarning yig'indisini yoki ayirmasining radiusi (kengligi) qo'shiluvchilarning radiuslarining yig'indisiga teng bo'ladi. Shuning uchun, (R) ga tegishli ixtiyoriy interval uchun unga qarama-qarshi interval mavjud emas, ya'ni . lkkinchi tomondan,
, formulalardan ko'rinib turibdiki, ixtiyoriy chegaralari ustma-ust tushmagan intervalni, intervallar ko'paytmasining nolga teng bo'lmagan radiusiga ko'paytirganda natija hech qachon nolga teng bo'lmaydi. Shu sababli, I(R) ning ixtiyoriy chegaralari ustma-ust tushmagan intervalining teskarisi mavjud emas, ya'ni
.
Ammo, I(R) da, quyidagi xossalar o'rinlidir: