Mundarija: Kirish: I. Bob. Interval arifmetika asoslari

Subdistributivlik
Interval-arefmetik amallarning eng qiziq xossalaridan biri bu distributivlik qonunini bajarilmasligidir, ya’ni
(1.1.9)
tenglik har doim xam bajarilavermaydi. Xaqiqatdan ham, , ikkinchi tomondan esa . Ammo, subdistributivlik deb ataluvchi tegishlilik har doim to‘g‘ridir:
(1.1.10)
Sezish mumkinki, uchun agar o‘rinli bo‘lsa, u holda tenglik ham o‘rinlidir. Ammo dan
kelib chiqmaydi.
Aytish mumkinki, bir qancha muhim xollarda (1.1.10) (1.1.9) bilan mos tushadi.
Agar bo‘lsa A intervalni nol saqlovchi interval (n.s.-interval) deb ataymiz. Ta’rifga ko‘ra
(1.1.11)
ni xosil qilamiz. Faraz qilaylik, ko‘paytmalarning hech biri ko‘paytuvchilarining ikkalasi bir vaqtda nol saqlovchi intervallar bo‘lmasin. U holda quyidagi tengliklar zanjiri o‘rinli bo‘ladi:



(1.1.12)
Olingan ifoda yoki bo‘lgan hollarda nolga teng bo‘ladi. Oxirgi tenglik bajarilishi uchun faqatgina emas, balki xam musbat bo‘lishi zarur va yetarlidir. Buni yoki yoki kabi yozish mumkin. Yuqorida aytilgan tasdiqlar A interval nol saqlamaydigan interval bo‘lgandagina to‘g‘ridir. A interval nol saqlaydigan interval bo‘lganda yuqoridagi tasdiqlar to‘g‘riligicha qolishi uchun В, С, В + С intervallarning hech biri no saqlaydigan interval bo‘lmasligi kerak. Agar А , В + С – n.s.-intervallar bo‘lsa, ammo na B va na C bunday bo‘lmasa, u xolda (1.1.12) tengliklar zanjirining birinchi qismi qat’iy tengsizlikka aylanadi. А, В + С va В va (ёки) С – n.s.-intervallar bo‘lganda aniq bir fikr aytib bo‘lmaydi. Faqatgina, В va С intervallar simmetrik intervallar bo‘lganda (1.1.9) distributivlilik xar doim to‘g‘ri bo‘ladi.
Shunday qilib, quyidagi tasdiqlar o‘rnatildi:
1. (1.1.10) formula xar doim to‘g‘ri;
2.Agar yoki yoki bo’lsa u holda
3.Agar A- n.s – interval bo’lmasa u holda faqat va faqatgina
bo’lsa tenglik o’rinli;
4. Agar bo’lsa u holda bo’ladi. Bu yerda
5. Agar B va S– simmetrik bo‘lsa, u xolda Tegishlilik bo‘yicha monotonliligi
Interval arifmetikasi tegishlilik bo‘yicha monotonliligi kabi muxim xususiyatga ega.
Bu degani, agar bo‘lsa , u xolda
, , (agar ) (1.1.13)
Bu munosabatlar (1.1.4) ta’rifdan bevosita kelib chiqqan natijalardir. Tegishlilik munosabati tranzitiv ekanligidan foydalanib, biz quyidagi muhim xulosaga kelamiz.
Teorema 1.1.1.
Agar - intervalli o‘zgaruvchilardan xosil qilingan ratsional ifoda bo‘lsa, ya’ni intervallar va intervalli arifmetika amallari bilan bog‘langan doimiy intervallar yig‘indilarining chekli kombinatsiyasi bo‘lsa, u xolda dan quyidagi kelib chiqadi

Bu erda - ifodadagi barcha arifmetik amallar ma’noga ega bo‘ladigan ixtiyoriy intervalli sonlardir.
Bu teorema ba’zida interval arifmetikasning asosiy teoremasi deyiladi.