Mundarija: Kirish: I. Bob. Interval arifmetika asoslari

Ilmiy-uslubiy tatqiqot medodlari:
Ilmiy-uslubiy tadqiqot metodlari:
- mavzu bo‘yicha ilmiy-uslubiy, nazariy adabiyotlarni o‘rganish;
- ta’lim to‘g‘risida davlat hujjatlari, ilg‘or mutaxassis olimlarning fikrlarini o‘rganish;
- ta’lim va ishlab chiqarish jarayoniga axborot texnologiyalarini qo‘llash bo‘yicha chiqarilgan qaror va farmonlarni o‘rganish.
Bitiruv malakaviy ishining hajmi: Bitiruv malakaviy ishi kirish, 2 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar, internet resurslari va ilova qismlaridan iborat.

I BOB. Interval arifmetika asoslari
1.1. Intervalli son ustida arifmetik amallar
Fan va texnikaning rivojlanishi tabiiy jarayonlarni mukammal tadqiq etishni taqozo etmoqda. Insoniyat tarixiga nazar tashlaydigan bo‘lsak, insonlar hamisha tevarak atrofda ro‘y berayotgan voqea-hodisalarni tahlil qilishga, tushunishga va ulardan o‘z ehtiyojlari uchun foydalanishga harakat qilib kelishgan. Bu jarayonlarni tahlil qilishda dastlab eng asosiy qurol kuzatishdan iborat bo‘lgan bo‘lsa, keyinchalik bu hodisalarni sababini o‘rganish zaruriyati to‘g‘ildi. Ushbu zaruriyat fizika, matematika, ximiya, biologiya kabi tabiiy fanlarni yaratilishiga olib keldi.
Ma’lumki, aksariyat fizik va mexanik jarayonlarni o‘rganishda ekspremental tatqiqotlar asosan obyektni maketlari ustida olib borilgan. Bu tajribalar yetarlicha ijobiy natija bermasligi hamda iqtisodiy jihatdan qimmatga tushishi matematik metodlarni qo‘llashga turki bo‘ldi. Natijida, tegishli masalalarni yechishning patematik metodlarini yaratish jadal rivojlandi.
Hozirgi kunda tabiiy jarayonlarni o‘rganishda matematik modellashtirish eng asosiy sohalardan biri bo‘lib qolmoqda. Bu sohani O‘zbekistonda rivojlanishiga akademiklar Qobulov V.Q, Bondarenko B.A, Bo‘riyev T.B , Jo‘rayev T.D , Abutaliyev F.B, Bekmurodov T.F , Kamilov A, Shirinqulov, hamda professorlar Nabiyev O.M, Fozilov Sh.X, Nishonov, Mo‘minov N.A, Nazirov Sh.A , Sa’dullayev va boshqalar katta hissa qo‘shmoqda.
Matematik modellashtirishda asosan oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamalar mo‘him o‘rin tutadi. Chegaraviy masalalarni yechishda masala chiziqli algebraik tenglamalarni va tenlgamalar sistemasini yechishga olib kelinadi.
Shu sababli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini aniq yechimini topishning turli usullari ishlab chiqilgan. Bu usullar asosan ikki xil bo‘lib, ular to‘g‘ri va iteratsion usullar deb nomlanadi. To‘g‘ri usullarga misol sifatida Gauss, Kramer va Matritsa usullarini aytib o‘tish mumkin. Bu usullar tenglamal sistemasining koffitsiyentlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lganda yechimni mavjudligi va yagonaligi haqida hamda aniq yechimni topishda muhim ahamiyatga ega. Ammo, bu usullarning kamchiligi shundan iboratki, tenglamalar sistemasining koeffitsiyentlari taqribiy olinganda aniq yechimni to‘g‘ri baholay olmaydi, ya’ni arifmetik amallar jarayonida topilgan yechim aniq yechimdan katta xatolik bilan farq qilishi mumkin. Ushbu xatoliklarni kamaytirish va aniq yechimga yaqinroq yechimni topish uchun iteratsion usullar (Gauss-Zeydel, Nyuton, oddiy iteratsiya va h.k.) ham foydalaniladi. Ammo, bunda yechimni oldindan berilgan aniqlikka ko‘ra topish uchun zarur bo‘ladigan qadamlar soni juda katta bo‘lishi mumkin.
Yuqoridagi kamchiliklarni yuqotish maqsadida interval analiz deb nomlanuvchi yo‘nalish vujudga keldi. Aniq sonli analiz masalalarni yechishda intervalli yondashuvdan foydalanishga bo‘lgan urinish 50-60 yillarga borib taqaladi. 1966 yilda amerikalik matematik Ramona Murning “Interval analysis” nomli monagrafiyasidan so‘ng bu soha matematikaning mustaqil yo‘nalishi sifatida faoliyat ko‘rsata boshladi. Interval analiz yo‘nalishiga sobiq ittifoq olimlari ham katta hissa qo‘shishgan. Ayniqsa, Novosibirsk ilmiy maktabi olimlari Kalmikov S. A.,Shokin.Y.I.,Yuldashev.Z.X, Dobronets B.S., Shaydurov V. V va ularning shogirdlarini mexnatlari salmoqlidir. Bu soha bo‘yicha O‘zbekistonda ham ilmiy ishlar keng tarqalmoqda. Ularga asosiy hissa qo‘shishaytganlar qatoriga Yuldashev Z. X, Bozorov M.B, Ro‘ziyev R.A, Ibragimov A.A va boshqalarni kiritish mumkin.
Interval analiz mohiyati shundaki, unda barcha haqiqiy sonlar o‘rniga shu haqiqiy sonni o‘z ichiga oluvchi interval qaraladi hamda odatdagi haqiqiy sonlar ustidagi arifmetik amallar o‘riniga interval arifmetika deb ataluvchi yangi amallarga almashtiriladi. Buning afzallik tomonliklari shundan iboratki, arifmetik amallar natijasida olingan yechimning aniqligi berilgan intervalli sonlarning aniqliligiga bog‘liq bo‘ladi, intervalli sonlar qanchalik aniqlikda berilsa, olingan yechim ham shunchalik aniq bo‘ladi. Bu sohani tarixi uzoq davrlarga borib taqalsada, uning keng rivojlanishi EHM larni yaratilishi bilan bog‘liq. Ushbu metod o‘zining soddaligi va aniqligi bo‘yicha boshqa shu kabi metodlardan ustun turadi.
Intervalli sonlar ikkita son – intervalni boshi va oxiri bilan beriladi. Masalan:
[2; 5] – bu yerda 2 – intervalning boshi, 5 esa intervalning oxirini ifodalaydi. Intervallarni ifodalashda lotin alfavitining bosh xarflaridan, interval chegaralarini belgilashda esa kichik xarflarlan foydalaniladi. Intervalli sonlar ustida to‘rtta arifmetik amallar (+, - , /, *) quyidagicha aniqlanadi:



Masalan, A = [2; 5], B = [3; 8] intervalli sonlar ustida bu amallarni bajarishga doir misol keltiraylik:
A + B = [2; 5] + [3; 8] = [2+3; 5+8] = [5; 13];
A – B = [2; 5] – [3; 8] = [2 – 3; 5 - 8] = [-1; -3];
A*B = [2;5]*[3;8] = [min{6, 16, 15, 40}, max{6, 16, 15, 40}] = [6; 40];
A / B = [2; 5] / [3; 8] = [2; 5]*[1/8; 1/3] =
= [min{1/4, 5/8, 2/3, 5/3}, max{1/4, 5/8, 2/3, 5/3}] = [1/4; 5/3];
Ko‘rinib turibdiki, intervalli sonlar ustida bajariladigan amallar odatdagi amallarga qaraganda bir muncha ko‘p hisoblashlarni bajarishni taqazo etadi. Shu sababli bu hisoblashlarni bajarishni EHMga yuklash maqsadga muvofiq. Qaraliyotgan muommo maxsus dasturlash tili zarurligini keltirib chiqaradi, chunki mavjud dasturlash tillarining aksariyati universal tillar hisoblanib, aniq bir matematik yo‘nalishga mo‘ljallanmagan. Ammo, shunday maxsus dasturlash tillari yaratildiki, ular tegishli yo‘nalishlarga moslashgan. Shular jumlasiga interval analizga moslashtirilgan Pascal XSC dasturlash tilini kiritish mumkin. Bu dasturlash tili Karlsrue Universitetining (Germaniya) amaliy matematikasi kafedrasida prof. U. Kulish raxbarligida yaratilgan. Ushbu tilning yaratilishi va keng tarqalishi 80 – yillar va 90-yillarning boshiga to‘g‘ri keladi.
PASCAL-XSC ning standart Paskaldan qanday asosiy farqlari bor, degan savol tug‘iladi. Agar juda qisqa qilib aytadigan bo‘lsak, u xolda bu til dasturlarning modulli tuzilishi, xar hil tiplarning modullar o‘rtasida eksport-import qilish, xususiy va ayni vaqtda mavjud amal belgilarini qayta aniqlash imkoniyati borligi, protseduralar nomlarini va hattoki amal belgilarini ustma – ust tushishiga ruxsat etilganligi, barcha strukturali tiplar ustidagi asosiy amallarni kengaytirilganligi, kompleks sonlar va intervallar hamda vektor va matritsalarni qo‘shilganligi, ya’ni ularning oldindan aniqlangan tiplari mavjudligi, dinamik massivlarning mavjudligi hamda ularni joylashtirish yoki qayta joylashtirish vositalari borligi, barcha sonli va kiritish – chiqarish amallari uchun yaxlitlashlarni boshqarish imkoniyati borligi, bunday amallarning maksimal (aniq matematik ma’noda) aniqliligi, skalyar ko‘paytmalar tipidagi amallar yuqori aniqlikda hisoblashini qo‘llab quvvatlashlari bilan farq qiladi.
Keltirilgan ruyxat PASCAL-XSC tilning vositalarini to‘liq nomoyon etmaydi, ammo bu ruyxat standart PASCAL-XSC tili haqida tushuncha hosil qilishga yordam berali.
Paskal har doim ekpertlar tomonidan dasturlashni o‘rganuvchilar uchun eng yaxshi til hisoblanib kelingan. PASCAL-XSC to‘laligicha bu xossalarni o‘zida olib qolgan, bundan tashqari, hozir gap sonli dasturlash haqida bormoqda. Haqiqatdan ham, PASCAL-XSC sonllarni qayta ishlovchi masalalarni yechish uchun puxta o‘ylanib yaratilgan tildir. PASCAL-XSC da barcha zaruriy vositalar tartibli va ekonom bilan joylashgan bo‘lib, uni faqatgina dasturlashni boshlang‘ich o‘rganuvchilar uchun eng yaxshi til deb yuritib qolmasdan, unga o‘xshab sonli dasturlashni o‘rgatuvchi tilni topishning o‘zi qiyindir. Shubhasizki, bu til kompyuter bo‘yicha o‘qituvchilar, ayniqsa, OO‘YU larning texnik va ilmiy fakultetlari o‘qituvchilariga zarurligini ko‘rsatib berdi.
Bitiruv malakaviy ishi kirish, 6 ta bo‘lim, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tarkib topgan.
Birinchi bo‘limda masalani qo‘yilishi haqida so‘z boradi.
Ikkinchi bo‘lim Pascal-XSC dasturlash tili va sonli hisoblashlarga bag‘ishlangan bo‘lib, unda tilning afzallik tomonlari va imkoniyatlari to‘liq bayon etilgan.
Uchinchi bo‘limda interval arifmetika asoslari qarab chiqilgan bo‘lib, unda intervalli son tushunchasi, intervalli arifmetikasi xossalari, umumlashgan interval arifmetikasi haqida nazariy tushunchalar, ta’riflar va teoremalar hamda tegishli misollar batafsil keltirilgan.
To‘rtinchi bo‘lim chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va uni yechish deb nomlanib, bu bo‘limda koeffitsiyentlari intervalli sonlardan iborat bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi tushunchasi, uning yechimi va yechish metodlari haqida fikr yuritilgan. Tegishli teoremalar yoritilgan va isboti bilan keltirilgan.
Bushinchi bo‘lim dasturiy ta’minot va undan foydalanishga bag‘ishlangan. Ushbu bo‘limda koeffitsiyentlari intervalli sonlardan iborat bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish dasturiy vositasi , dasturiy vosita modullarining tasnifi hamda dasturiy vositadan foydalanish bo‘yicha qo‘llanma keltirilgan.
Nihoyat, oltinchi bo‘limda texnika xavfsizligi bo‘yicha tegishli ko‘rsatmalar berilgan.
Xulosa qismida bitiruv malakaviy ishida olingan natijalar qisqacha bayon etilgan.
Adabiyotlar qismida ushbu bitiruv malakaviy ishishni bajarishda foydalanilgan adabiyotlar ruyxati yozilgan.
Ma’lumki, haqiqiy koeffitsiyentli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning bir qancha to‘g‘ri metodlari mavjud bo‘lib, jumladan, Gauss metodi, Kramer metodi, Matritsaviy metodlar kabilar bizga bir qancha vaqtdan beri ma’lum bo‘lib, ular keng qo‘llanilib kelinmoqda. Bu metodlarning afzalligi shundaki, aniq berilgan sonlarda , ya’ni koeffitsiyentlarda yechim mavjudligi haqida to‘liq ma’lumot berib, yechim bir qiymatli aniqlanadi. Fan va texnikaning rivojlanishi hamda ulardan kelib chiqadigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini koeffitsiyentlari aniq son bo‘lmasdan, balki ma’lum aniqlikda berilishi yuqoridagi usullar bilan masalani hal qilish aniq yechimni katta xatoliklar bilan topilishiga sabab bo‘ladi.
Hozirgi kunda yuqoridagi xatoliklarni kamaytirish hamda aniq yechimga yetarlicha yaqin bo‘lgan yechimni topish maqsadida turli metodlar qo‘llanilmoqda. Bulardan interval analiz deb nomlanuvchi soha ushbu yo‘nalishda o‘zining ishonchliligi va soddaligi bilan ajralib turadi.
Bizga ma’lumki, yaratilgan dasturlash tillarining aksariyati universal tillar bo‘lib, ularda matematik hisoblashlar umumiy hollar uchun qaraladi. Ammo, shunday maxsus dasturlash tillari mavjudki, ular tegishli yo‘nalishlarga moslashgandir. Shular jumlasiga interval analizga moslashtirilgan Pascal XSC dasturlash tilini kiritish mumkin. Bu dasturlash tili Karlsrue Universitetining (Germaniya) amaliy matematikasi kafedrasida prof. U. Kulish raxbarligida yaratilgan.
Ushbu malakaviy bitiruv ishi koeffitsiyentlari intervallardan iborat bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Pascal XSC dasturlash muhitida dasturiy vositasini yaratishga bag‘ishlangan.
Faraz qilaylik – barcha haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsin. interval to‘plamning quyidagi ko‘rinishdagi qism to‘plami deyiladi:

Barcha intervallar to‘plamini orqali ifodalaymiz. elementlarini katta harflar bilan belgilaymiz. Agar A – element ning elementi bo‘lsa, ya’ni , u xolda chap va o‘ng oxirlari ko‘rinishda belgilanadi. elementlari intervalli sonlar deyiladi.
belgilari va shunga o‘xshash belgilar odatdagi ma’noda qo‘llaniladi. Ikki interval A va V, qachonki ularning quyi va yuqori chegaralari teng bo‘lsagina teng bo‘ladi.
to‘plamda tartib munosabati quyidagi ko‘rinishda aniqlanadi: А< В bo‘ladi qachonki faqat va faqat munosabat bajarilsa. Xuddi shu kabi tartib munosabatni kuyidagicha xam kiritish mumkin: agar bo‘lsa, u xolda А В dan oshmaydi. Biz bitiruv malakaviy ishida birinchi ta’rifdan foydalanamiz.
- A va B intervallarning kesishmasi bo‘sh bo‘ladi, agarda A < B yoki
B< A bo‘lsa, aks xolda – yana interval xosil bo‘ladi.
Agar intervalning quyi va yuqori chegaralari munosabatda bo‘lsa, interval ta’rifga ko‘ra simmetrik deyiladi.
Ushbu
(1.1.1)
ko‘rinishda aniqlanuvchi miqdorga A intervalning kengligi deyiladi.
Xuddi shuningdek,
(1.1.2)
ya’ni, A intervalning oxirlari yarim yig‘indisiga A intervalning o‘rtasi deyiladi va ko‘rinishda ifodalanadi.

A intervalning absolyut qiymati ,

(1.1.3)
ko‘rinishda hisoblanadi.
Nixoyat, . SHuningdek, qachonki bo‘lsa, bajarilishini xamda va bo‘lsa bajarilishini ko‘rish qiyin emas.
A va B( elementlari orasidagi masofa kuyidagi

formula orqali aniqlanadi.