Mundarija: kirish I bob. Asosiy tushunchalar

5-ta’rif . Aytaylik G ixtiyoriy multiplikativ gruppa bo’lsin, a uning elementi bo’lsin. ko’rinishdagi ( ) b elementni a ga qo’shma element deyiladi. Uni kabi belgilaymiz.
a ni g element yordamida transformatlash yordamida b element hosil qilinadi.
munosabatlarning xossalari.
1. refleksiv , ya’ni
2. Agar bo’lsa, u xolda (simmetriklik), ya’ni
ekanligidan .
3. Agar , , u xolda (tranzitiv), ya’ni
, ekanligidan
kelib chiqadi.
Shunday qilib munosabati refleksiv, simmetrik tranzitiv, demak bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo’ladi va u G gruppani elementlarning kesishmaydigan sinflarga ajratish mumkin. Bu sinflardagi elementlar soni teng bo’ladi.
Birlik element alohida sinf xosil qiladi. Kommutativ gruppada ajratilgan sinflar soni gruppa tartibiga teng bo’ladi. Kommutativ gruppada sinflar soni gruppa tartibidan kichik bo’ladi.
Misol. simmetrik gruppada birinchi tartibli element , , , elementlar ikkinchi tartibli, , elementlar uchinchi tartiblidir. Birlik element o’zi o’ziga qo’shma. Ikkinchi tartibli uchta element o’zaro qo’shma, masalan , va lar o’zaro qo’shm, ya’ni .
Ammo , , lar ikkinchi tartibli bo’lib , elementlar uchinchi tartibli elementlarga qo’shma bo’la olmaydi. Demak gruppa uchta sinfdan iborat , , .
6- ta’rif. va gruppalar izomorf deb ataladi, agar ularning elementlari orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud bo’lib, u gruppaviy operatsiyani saqlab qoladi, ya’ni , va , bo’lsa , u holda .
munosabatni ni gruppaga o’zaro bir qiymatli akslantirish sifatida qarash mumkin. Bunda ixtiyoriy
.
Misol. 2-tartibli barcha gruppalar (shuningdek 3-tartibli gruppalar) o’zaro izomorf. Ammo to’rtinchi tartibli gruppalar ichida ikkita izomorf bo’lmagan gruppalar mavjud: kvadratni aylantirishdan xosil bo’lgan gruppa va V- rombning simmetriyalari gruppasi.
7-ta’rif. G gruppa gruppaga gomomorf deb ataladi, agar G gruppaning har elementiga gruppaning bitta elementi mos qo’yilsa (ya’ni gruppaning har bir elementiga G gruppaning hech bo’lmaganda bitta elementi mos kelsa ) ya’ni barcha elementlari uchun
.
Gomomorfizm izomorfizmdan farqi shuki, bu yerda G ni ga akslantirish o’zaro bir qiymatli deb faraz qilinmaydi. Shunday qilib izomorfizm gomomorfizmning xususiy holi.
Misol. V rombning simmetriyalari gruppasiga e,a,b,ab ( , ) elementlar kiradi. Bu munosabatlar elementli siklik gruppada gomomorf
Bu yerda ko’rish osonki, G gruppadagi ixtiyoriy ikkita element ko’paytmasiga gruppa mos elementlarning ko’paytmasi mos keladi.
.
Ko’rish osonki, G gruppaning ixtiyoriy ikkita elementi ko’paytmasiga gruppadagi mos elementlar mos keladi. V ni ga gomomorf akislantirishni
, yoki
,
Oltinchi tartibli elementlarning siklik gruppasi ikkinchi tartibli siklik gruppaga , ga gomomorf. Shuningdek siklik gruppa siklik gruppa

ga ham gomomorf.