Mundarija: kirish I bob. Asosiy tushunchalar

3-ta’rif. Ggruppa siklik gruppa deb ataladi, agar bu gruppa o’z elementining darajalaridan iborar bo’lsa, ya’ni gruppa o’zining siklik podgruppasi bilan ustma - ust tushsa.
Cheksiz siklik gruppa sifatida butun sonlarning additiv gruppasini keltirish mumkin, ya’ni har qanday butun son 1 ga karrali, demak bu 1 sonini tashkil qiluvchi elementi deb qarash mumkin. Shuningdek tashkil qiluvchi son sifatida -1 ni ham olish mumkin.
n- tartibli chekli siklik gruppa sifatida birinchidan olingan n-darajali ildizlarning multiplikativ gruppasini olish mumkin.
4-ta’rif . G gruppaning A gruppa ostisi narmal gruppa osti (yoki invariant podgruppa ) deb ataladi, agar A podgruppa bo’yicha G gruppaning chap tomonlama yoyilmasi ( xA sinflarga ) uning o’ng tomonlama yoyilmasi ( ya’ni Ax sinflarga ajratish bilan ) ustma - ust tushsa, bu yerda x-G ning ixtiyoriy elementi.
Misol. - simmetrik gruppada podgruppa invariant podgruppa bo’ladi. Ammo - invariant bo’lmaydi.
Kommutativ gruppada ixtiyoriy podgruppa normal bo’ladi.
Aytaylik , G – ixtiyoriy gruppa, A- uning normal podgruppasi, S esa A podgruppa bo’yicha G gruppaning barcha mumkin bo’lgan aralash sinflari to’plami bo’lsin, S da ko’paytirish amalini

ko’rinishda kiritamiz.
Agar A podgruppa invariant bo’lsa, u xolda ko’paytma x va y ni tanlashga bog’liq bo’maydi.
Gruppa hosil bo’lgalini ko’rsataylik.
1. G gruppadagi ko’paytirish amalining assosativlik qonuniga bo’ysunganligidan S dagi sinflarni ko’paytirish amalining ham assosativligi kelib chiqadi, ya’ni

2. Birlik element sifatida A podgruppa olinadi.
,

3. xA ga teskari sinf sinf bo’ladi.


Hosil qilingan gruppa kabi belgilanadi va A invariant podgruppa bo’yicha G gruppaning faktor gruppasi deb ataladi.
Misol. - n-darajali simmetrik gruppaning -ishoralari almashunuvchi -gruppa bo’yicha faktor gruppasi ikkinchi tartibli gruppa bo’ladi.