Mundarija : Kirish. I bob. Algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari va algaritimi

I bob. Algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari va algaritimi.

1.1 Algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari .
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.

Faraz qilaylik, I-darajali, ikkita noma’lumli, ikkita algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

                    (1)

(1)  sistemaning 1-tenglamasini a₂₂ ga, 2-tenglamasini –a₁₂ ga ko’paytirib qo’shsak:

                           (a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁)x₁=b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂ 

       (2) 

Agar (1) sistemaning 1-tenglamasi –a₂₁ ga, 2-tenglamasini a₁₁ ga ko’pattirib qo’shsak

                            (a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁)X₂=b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁     

     (3)

(2) va (3)larga e’tibor bersak 2-tartibli determinant ta’rifiga ko’ra

(4)

       ga ega bo’lamiz.

(4) ga Kramer usuli deyiladi. (1) sistema yagona yechimga ega bo’lishi uchun   zarur va yetarli.

(4) ga e’tibor bersak   berilgan (1) sistemadagi noma’lumlarning oldidagi koeffitsentidan tuzilgan 2-tartibli determinant,  ₁ ,  ₂ lar esa mos ravishda  ning birinchi va ikkinchi ustunlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar.

     Agar uch noma’lumli 3ta algebraik tenglamalar sistemasi

     berilgan bo’lib        =   bo’lsa

              berilgan tenglamaning yechimlari:

     (5)

Kramer usulida aniqlanadi. Bu yerda ham  , ,  lar  ning ustun elementlarini mos ravishda ozod elementlari bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar.

Agar birinchi darajali n ta noma’lumli n ta algebraik tenglamalar sistemasi

                              

bo’lsa, berilgan sitemaning yechimini Kramer usuliga ko’ra quyidagicha aniqlash mumkin:

        (5)

₁,  ₂, … ,  _n lar   ning ustun elementlarini mos ravishda ketma-ket ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi.

Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.

 

Quyidagi n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

                  (6)

a_ij ( ,   ) koeffitsentdagi birinchi indeks tenglama nomerini, ikkinchi indeks esa noma’lum nomerini bildiradi.

Ta’rif1:  Agar (1) sistema yechimga ega bo’lsa, unga birgalikda bo’lgan sitema, agar yechimga bo’lmasa birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi.

Ta’rif2: Agar birgalikda bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasi yasgona yechimga ega bo’lsa, uni aniq sistema deyiladi. Cheksiz ko’p yechimga ega bo’lsa, aniqmas sistema deyiladi.

Endi (1) sistemani Gauss usuli bilan yechamiz bu usulning mohiyati, noma’lumlarni ketma-ket yo’qotib, berilgan sistemaga teng kuchli bo’lgan uchburchak ko’rinishdagi sistemaga keltiriladi a₁₁≠0 deb (1) ning birinchi tenglamasini a₁₁ ga bo’lib, so’ngra uni –a₂₁ ga ko’paytirib, ikkinchi tenglamaga qo’shamiz. Keyin – a₃₁ ga ko’paytirib 3chi tenglamaga qo’shamiz va shu jarayonni davom ettirsak natijada shunday sistema hosil bo’ladiki, u sistemaning faqat birinchi tenglamasi x₁ qatnashib, qolganlarida qatnashmaydi.

Shu jarayonni (1) sistemaning qolgan tenglamariga ketma-ket tadbiq etish natijasida ikkita siste-maning bittasiga kelamiz

(7)

(6) sistemaga uchburchak sitema, (7)ga esa pog’onali sistema deyiladi.

Agar (1) sistema (6) ko’rinishdagi sistemaga keltirilsa, u holda (1) sistema birgalikda bo’lgan sistema bo’lib, uning yechimi yagona bo’ladi. Agar (1) sistema (7) ko’rinishdagi sistemaga keltirilsa u holda (1) sistema birgalikda bo’lib, yechimi cheksiz ko’p bo’ladi.

Matritsalar yordamida chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish.

Qulaylik uchun 3 noma’lumli 3ta chiziqli tenglamalar sistemasini ko’raylik.

Elemetlari noma’lumlarning koeffietsentlaridan, noma’lumlardan va ozod sonlardan tuzilgan quyidagi matritsalarni ko’raylik.

                 A=

u holda (8) sistemani quyidagicha yozish mumkin.

                   (9)

Agar A matritsa maxsimus matritsa bo’lsa, u holda unga teskari bo’lga A^-1 matritsa mavjud bo’ladi. Shuning uchun (9) ning har ikkal tomonin A^-1 ga ko’paytirsak

                                                        A^-1(AX)=A^-1C (A^-1A)X=A^-1C       

Agar A^-1A=A A^-1=E va EA=AE=A  tengliklarini e’tiborga olsak,

(A^-1A)× X=A^-1C EX=A^-1C X=A^-1C   (10)