Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

B va C nuqtalarning yangi frontal proyeksiyalari (B″₁ va C″₁) aylantirish o’qining A″D″ proyeksiyasida bo’ladi.
Shaklda B va C nuqtalarning aylantirilishidan hosil bo’lgan gorizontal proyeksiyalovchi tekisliklarning faqat gorizontal izlari (Q_H, S_H) ko’rsatilgan.
17-rasmdagi uchburchak o’z gorizontali atrofida aylantirilib, H ga parallel vaziyatga keltirilgandagi aylantirish burchagi (φ) uchburchak bilan H orasidagi ikki yoqli burchakning kattaligi (α) ga teng (φ=α). Bu burchak epyurda aylantirish radiusining haqiqiy o’zunligi bilan uning gorizontal proyeksiyasi orasidagi burchakga baravardir, chunki aylantirish radiusi uchburchak tekisligining eng katta qiyalik chizig’iga to’g’ri keladi.
Berilgan ABC uchburchakni gorizontali atrofida aylantirib, gorizontal proyeksiyalovchi vaziyatga ham keltirish mumkin. (Bu ishni qanday qilib bajarish mumkin?)
Yukoridagi yasashga o’xshash yasash bilan tekis shaklni uning frontali atrofida aylantirib, V tekislikka parallel vaziyatga kel­tirish mumkin.
11-mavzu.
Tekislikni o’z izlaridan biri atrofida aylantirish
Izlari bilan berilgan tekislikda yasashga doir masalalarni yechish yoki tekislikda yotgan shakllarning haqiqiy ko’rinishini yasash uchun, berilgan tekislikni uning izlaridan biri atrofida aylan­tirib, o’sha izi yotgan proyeksiyalar tekisligi bilan ustma-ust tushirish (jipslashtirish) qulaydir. Tekislikning gorizontal izi uning gorizontallaridan biri (xususiy vaziyatdagi gorizontali), frontal izi esa xususiy vaziyatdagi frontali bo’lgani uchun, bu aylantirishning yuqoridagi tekislikni o’z gorizontali yoki frontali atro­fida aylantirishdan (42-paragraf) hyech qanday prinsipial farqi yo’q.

18-rasm.
18-rasm, a da umumiy vaziyatdagi P tekislikni shu tekislikda yotgan A nuqta bilan birga gorizontal P_H izi atrofida aylantirib, H tekislikka joylashtirish ko’rsatilgan. A nuqtadan P tekis­likda AN gorizontal chizamiz; gorizontalning frontal izi (N″) tekislikning frontal izida bo’ladi. Tekislik H tekislikka jipslashtirilgandan so’ng P_H P_X P_V0 vaziyatni oladi; uning gorizontal izi (P_H) o’z joyida qoladi, frontal izi tekislikdagi boshqa nuqtalar bilan birga aylanib, H tekislikka tushadi va P_V0 vaziyatni oladi. Shunga ko’ra, tekislikdagi barcha nuqtalarning aylantirilgandan keyingi yangi proyeksiyalarini yasash uchun tekislikning fron­tal izidagi birorta ixtiyoriy nuqtaning aylantirilgandan keyingi vaziyatini topib, uni P_X bilan tutashtirsak, P_V0 kelib chiqadi. Rasmda ixtiyoriy nuqta sifatida N nuqta olingan. N nuqtaning aylantirish tekisligi (Q) gorizontal proyeksiyalovchi tekislik bo’lib P_H ga perpendikulyar joylashgan. Q bilan P_H ning kesishuv nuqtasi (O) N nuqtaning aylantirilish markazi, ON kesma esa uning aylan- tirilish radiusidir. P tekislik H ga jipslashtirilgandan keyin aylantirish radiusi Q_H izga tushadi va uning uchida N₀ hosil bo’ladi. Bu N₀ nuqtani P_X bilan tutashtirib, P_V0 ni topamiz. Epyurda N₀ nuqtani topish uchun (18-rasm, b) tekislikning P_V izida ixtiyoriy N nuqta olamiz (N″ ham shu joyda) va uning gori­zontal proyeksiyasi (N′) orqali aylantirish o’qi P_H iziga perpendi­kulyar qilib N′O ni o’tkazamiz. Bu perpendikulyar Q_H bo’ladi. Endi P_X nuqtadan P_XN″ radiusli yoy bilan N′O chiziqning davomini kesib, N nuqtaning yangi – H ga jipslashtirilgandagi o’rni (N₀) ni topa­miz. N₀ nuqtani qo’zg’almas P_X nuqta bilan tutashtirsak, P_V0 hosil bo’ladi.
Tekislikning A nuqtasidan o’tgan gorizontali (AN) ham tekislik bilan birga aylanib borib, H tekislikka jipslashadi. AN gorizon­tal hamma vaqt P_H ga parallelligicha qoladi va H bilan jipslashgandan keyin N₀ nuqtadan o’tadi (N₀A₀ || P_H).
A nuqtaning aylantirilish radiusi N nuqtaning aylantirilish radiusiga teng, A nuqtaning aylantirilish tekisligi S || Q bo’ladi; uning S_H izi A nuqtaning go­rizontal proyeksiyasi (A′) dan P_H ga perpendikulyar bo’lib o’tadi. Shunday qilib, N₀ nuqtadan P_H ga parallel va A′ dan P_H ga per­pendikulyar o’tkazsak, ularning kesishuv joyida A nuqtaning yangi o’rni (A₀) kelib chiqa­di.
Tekislikning yangi P_V0 izini chizish uchun zarur bo’lgan N₀ nuqta aylantirish radiusining haqiqiy o’zunligini yasash yo’li bilan topilsa ham bo’ladi. Buning uchun, avvalo, ON′ va N′N″ katetlari asosida to’g’ri burchakli ON′N₁ uchburchak (A′N₁=N′N″) yasalsa, uning gipotenuzasi (ON₁) aylan­tirish radiusiga teng bo’ladi. Keyin aylantirish markazi (O) dan N′O chiziq bo’yicha ON₀=ON_t=R kesma qo’yilib, N₀ nuqta topiladi.
Epyurdan ravshan ko’rinib turibdiki, A nuqtaning jipslashtirilgandan keyingi o’rni P tekislikning izlari va 18-rasm, b da tasvirlangan H dagi bitta proyeksiyasi bo’lgandagina yasalishi mumkin, nuqtaning ikkinchi (A″) proyeksiyasidan yasashda foydalanilmaydi.
Bu xulosa izlari orqali berilgan umumiy vaziyatdagi tekislikda yotgan tekis shaklning bir proyeksiyasi mavjud bo’lganda uning haqiqiy ko’rinishini yasash uchun muhimdir.
1-misol. Tekislikning izlari (P_H, P_V) va unda yotgan uchburchakning gorizontal proyeksiyasi (ΔA′B′C′) berilgan. ABC uchburchakning haqiqiy ko’rinishini yasash kerak (19-rasm).
P _H izni aylantirish o’qi deb qabul qilamiz va tekislikni H tekislik bilan jipslashtiramiz.
Yasash tartibi:
1) berilgan nuqtalar orqali gorizontallar o’tkazamiz va ularning izlarini topamiz (N′, N″ va N′₁, N″₁);
2) gorizontal proyeksiyalovchi aylantirish tekisliklarining izla­rini (Q_HP_H, S_HP_H va boshqalarni) o’tkazamiz;
3) N₀ nuqtani topamiz va uni P_X bilan tutashtirib, P_Vo izni yasaymiz;
4) N₀ va N_l0 nuqtalar orqali gorizontallarning aylantirilgandan keyingi vaziyatlarini chizamiz (N₀C₀ || P_H || N₁₀B₀);
5
19-rasm.
) jipslashtirilgan gorizontallarni aylantirish tekislik­larining gorizontal izlari (Q_H, S_H va R_H) bilan kesishuv joylarida A₀, B₀, C₀ nuqtalarni topamiz;
A₀B₀C₀ izlangan uchbur­chak, ya’ni ΔA₀B₀C₀ = ABC bo’ladi.
Proyeksiyalovchi tekisliklarni jipslashtirish ayniqsa oson, chunki bunday tekisliklarning izlari orasidagi burchak haqiqatda to’g’ri burchakdir. Tekislik jipslashtirilgandan keyin ham bu bur­chak, albatta, saqlanadi. Mi­sol tariqasida 20-rasmda frontal proyeksiyalovchi P te­kislik shu tekislikda yotgan ABCD turtburchak bilan birga P_H izi atrofida aylantirilib H tekislikka jipslashtirilgan. Jipslashtirilgandan so’ng tekislikning frontal izi OX o’qiga kelib qoladi, A″, B″, C″, D″ nuqtalar bir-biri orasidagi va izlarning uchrashuv nuqtasigacha bo’lgan masofalarini o’zgartirmasdan, A₀″, B₀″, C₀″, D₀″ nuqtalarga o’tadi. Nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari (A′, B′, C′, D′ nuqtalar) esa OX ga parallel to’g’ri chiziq­lar bo’ylab suriladi. Shunday qilib, A₀B₀C₀D₀ berilgan to’rtburchakning H ga jipslashtirilgan vaziyatidir.
Bu yerda shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, proyeksiyalovchi tekislikning shu tekislik izlaridan biri atrofida aylantirilishini proyeksiyalar tekisliklaridan biriga perpendikulyar o’q at­rofida aylantirish deb qarash mumkin (41-paragraf), faqat bu yerda tekislikdagi nuqtalar istalgan burchakka aylantirilmasdan, proyeksiyalar tekisligiga kelguncha aylantiriladi.

20-rasm. 21-rasm.
Agar epyurda berilgan tekis­likning izlari bo’lmasa, uni jipslashtirish uchun aylantirish o’qi vazifasini bajaruvchi izinigina yasash kifoya.