Муҳаммад ал-хоразмий номидаги тошкент ахборот технологиялари

BIR TO’RTINCHI TARTIBLI TENGLAMAGA QO’YILGAN 
CHEGARAVIY MASALA YECHIMINING YAGONALIGI HAQIDA 
Sh.G’.Musurmonova
1
, D.Eshmurodov
2
 
1
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti 
Qarshi filiali,
2
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti 
Qarshi filiali talabasi 
 
Ma’lumki, uchinchi va undan yuqori tartibli xususiy hosilali deffirensial 
tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalar hozirgi kunda ham ikkinchi tartibli 
tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarga nisbatan kam o’rganilgan [1]
Ushbu ishda bir to’rtinchi tartibli tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalani 
umumlashgan yechimning yagonaligi isbotlanadi. 


( , ) : 0
,0
1
D
t x
t T
x
=
 
 
sohada
( )
,
txx
xxxx
u
u
f t x
−
=
(1) 
tenglamani qaraylik,
Chegaraviy 
masala. 
D 
sohada 
(1) 
tenglamaning 
( )
0
0
,
t
u
u x
=
=
0
1
0
1
0
x
x
x
x
x
x
u
u
u
u
=
=
=
=
=
=
=
=
(2) chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi umumlashgan 
yechimni toping
Ta’rif. (1) (2) chegaraviy masalaning umumlashgan yechimi deb 
( )
0
t
v
C
D

 
uchun
(
)
xx
t
xx
xx
D
D
u v
u v
dD
fvdD
+
= −


integral tenglamaning qanoatlantiruvchi 
( )
(
)
( )
(
)
1
2
2
2
2
0, ;
0,1
0, ;
0,1
u
L
T w
L
T w



funksiyaga aytiladi. 
Lemma. (1)- (2) masalaning umumlashgan yechimi uchun 
aprior baholash o’rinli. 
Isboti. (1) tenglamani 
u
−
ga ko’paytirib 
x
bo’yicha 
0
dan 1 gacha 
integralaymiz. Bo’laklab integrallash formulasini va (2) shartlarni qo’llab quyidagi 
tenglikni hosil qilamiz.

---

68 
1
1
1
0
0
0
txx
xxxx
u udx
u
udx
fudx
−
+
= −



yoki 
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
x
x
tx
x
tx
xxx
x
xxx
x
x
u u dx u u
u u dx u
u
fudx
=
=
=
=
−
−
+
= −



Bu oxirgi tenglikdan esa
1
1
1
2
2
0
0
0
1
2
x
xx
d
u dx
u dx
fudx
dt
+
= −



(3) 
tenglikni hosil qilamiz. Bu (3) tenglikning o’ng tomoniga Gyoldir va Koshi 
tengsizliklarini qo’llab
1
1
1
1
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
1
2
2
2
x
xx
d
u dx
u dx
f dx
u dx
dx
+

+




(4) 
tengsizlikni hosil qilamiz. (2) chegaraviy shart 
( )
,0
0
u t
=
ekanligidan
( )
0
,
x
x
u t x
u dx
=

tenglik o’rinli. Bundan esa
( )
1
1
2
2
0
0
,
x
u
t x dx
c u dx



(5) 
tengsizlik kelib chiqadi. (4) tengsizlikga (5) ni qo’yib quyidagi tengsizlikni hosil 
qilamiz
1
1
1
1
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
2
2
2
x
xx
x
d
c
u dx
u dx
f dx
u dx
dt
+

+




(6) 
Ushbu (6) tengsizlikni ikkala tomonini 
0
dan 
t
gacha 
t
bo’yicha integrallab 
quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
0
0
0 0
0 0
0 0
0
1
1
1
0
2
2
2
2
t
t
t
x
xx
x
x
c
u dx
u dxdt
f dxdt
u dxdt
u dx
+

+
+





Bu tengsizlikda Gronuolla lemmasini [3] qo’llab
tengsizlikni hosil qilamiz. Lemma isbotlandi. 
Teorema. (1) -(2) chegaraviy masalani umumlashgan yechimi yagona . 
Isboti. Faraz qilaylik (1) va (2) chegaraviy masala D sohada 2 ta
( )
1
,
u t x
va 
( )
2
,
u t x
yechimlarga ega bo’lsin u holda 
( )
( )
( )
1
2
,
,
,
t x
u t x
u t x

=
−
funksiya 
0
txx
xxxx


−
=
(1’)
bir jinsli tenglamani va 
0
0
1
0
1
0,
0
x
x
t
x
x
x
x





=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(2’) 
chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. 
Bu (1’)- (2’) masalaning yechimi uchun lemma sharti bajariladi ya’ni 

yechish uchun
tengsizlik bajariladi. Bundan esa normaning xossasiga ko’ra 
D
sohada 
( )
,
0
t x

=
kelib chiqadi. 
Demak, (1) (2) chegaraviy masalaning yechimi yagona. 
Teorema isbotlandi. 
 

---

69 
Adabiyotlar 
1. O. A. Ладыженская “Краевые задачи математеческой физики” 
Москва, Наука 1973 г. 410 ст. 
2. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. “Элементы терин фукнций и 
функционального анализа”, Москва, Наука 1976 г, 546 стр. 
3. Н.А.Ларькин, В.А Новиков, Н.Н.Яненко “Неленийные уравнения 
переменного типа”, Москва, Наука 1983 г. 272 стр. 
MATEMATIKA FANINI KOMPYUTER TEXNOLOGIYALARINING 
AMALIY DASTURLARI ORQALI MODELLASHTIRISH USULLARI 
M.P.Mashariov
1
, N.Matxalikova
2
1
Toshkent shahar XTXQTMOHM “Aniq va tabiiy fanlar metodikasi” kafedrasi 
katta о‘qituvchisi. 
2
6-DIUM “Matematika” fani o‘qituvchisi. 
Mustaqillikning ilk yillarida О‘zbekiston Respublikasida ta’lim tizimini 
isloh qilish davlat siyosatining ustuvor vazifalaridan biri sifatida e’tirof etildi. 
Mamlakatimizning barcha sohalarida bо‘lganidek, ta’lim tizimiga ham keng 
qamrovli islohotlar chuqurroq kirib bormoqda. Barcha ta’lim tizimidagi islohotlar 
jarayonda jahon andozalariga mos keladigan uzluksiz ta’lim tizimini yaratish, ta’lim 
samaradorligini yuqori bosqichlarga kо‘tarish masalalarining ijobiy hal etilishiga erishish 
dolzarb pedagogik vazifalar sifatida kun tartibiga qо‘yildi. Bu islohotlardan kо‘zda 
tutilgan maqsad ta’lim jarayoniga yangi pedagogik va axborot texnologiyalarini 
joriy etish, ta’lim samaradorligini oshirish, mazmunini yaxshilash, pirovard 
natijada uni jamiyat ijtimoiy-iqtisodiy, ilmiy-ma’rifiy rivojlanishiga xizmat 
qildirishdan iboratdir.
Hozirgi kunda yoshlar:
• Axborot kommunikatsiya texnologiyalaridan foydalanish; 
• zamonaviy aloqa telefonlariga ega bo’lish; 
• internet interaktiv xizmatlaridan hamda o’yinlardan foydalanish va boshqa 
texnik vositalarga talabi va qiziqishlari kuchayib bormoqda, bu esa 
o’quvchilarning ta’lim va tarbiyasiga ta’sir etmasdan qolmaydi. 
Darslarda 
foydalaniladigan 
har 
qanday 
axborot 
kommunikatsiya 
texnologiyalari ta’lim jarayoniga ijobiy ta’sir etib, o’quv fani qiziqarli bahs-
munozarali bo’lishiga, o‘quvchilarni darslarda befarq bo’lmasliklariga, fanlarga 
qiziqishlari kuchayishiga, qiyin o’zlasahtiruvchi o’quvchilarni kamayishiga, 
buning natijasida o’quvchilarning bilim, malaka, ko’nikma va kompitentsiyalarini 
rivojlantirishga hamda egallanishi lozim bo’lgan bilimlar hajmining oshishiga 
yordam beradi. Matematika ta’limi jarayonida o’quvchilarni yanada darslarga 
qiziqishlarini oshirishda yangi innovatsion texnologiyalardan foydalanishni amalga 
oshirish lozim bo’ladi.
Matematika darslarda quyidagi kompyuter amaliy dasturlari imkoniyatlardan 
foydalanish mumkun:

---

70 
• Kompyuter amaliy dasturlari: MicroSoft office, Camtasia Studio, MX 
Flash IspringPRO va boshqalar. 
Bunda nafaqat tinglash, o’qish balki o’quvchilar bir dars jarayonida 
mustqail ta`lim olish, olingan nazariy bilimni amalda kuzatish va mavzuni 
mazmunidagi yangilikni tadqiq qilish imkoniyatiga ega bo’ladilar. 
• Kompyuter texnologiyalarining matematik paketlaridan “Grafice”, 
“Maple”, “Mathcad”, “MicroSoft Mathematics”, “Master funksiya”dasturlarida 
misol va masalalarni yechish hamda grafiklari bilan ishlash imkoniyatini beradi. 
Bu dasturda foydalanish tasvirlarni aniq koordinatalar o’qida ko’rsatish, 
o’zgartirishlar kiritish, tahlil qilish, misol va masalalarning kanonik yechimlarini 
ko’rish imkoniyati mavjud. Bu esa o’quvchilarni texnik vositalardan oqilona 
foydalanishga yo’naltirib bo’sh vaqtlarini mazmunli o’tkazish, matematik 
savodxonligini oshirishga erishish mumkun. 
1. 
Matematik “Grafice” amaliy dasturi: bu amaliy dastur berilgan 
fiunksiyalarini dekart koordinatalar sistemasida grafikini ko‘rsatish va ularni tahrir 
qilish imkoniyatlarini beradi 
“Microsoft Matematice” amaliy 
dasturi: Bu dastur barcha ta’lilim 
muassasalarida 
matematika 
mashg’ulotlarida 
foydalinish 
imkoniyati 
mavjud 
bo‘lib 
foydalanishda 
“Glavnaya” 
menyusidan List- ishchi maydoniga 
sonli ifodalar bilan ishlash imkoniyati 
mavjud.
Postroyeniye 
grafikov- 
ishchi 
maydonida funksiyalar (ikkita yoki uchta 
funksiya) 
kritiladi 
va 
ularning 
koordinatalar o’qida grafigi hamda kesishish nuqtalari ko’rsatadi. 

---

71 
“Jivaya Geometriya” – Cherej dasturi: Geometrik tasvirlar yaratish va 
ularni har tomonlama ko’rish imkonini beradi. 
“Master Function” dasturidan foydalanish o‘quvchilarda funksiyaning 
grafigini aniq koordinatalar o‘qida tasvirlab berish va berilgan fiunksiyaning 
qiymatlarini aniqlash imkonini beradi. 
О‘qituvchining vazifasi har bir ta’lim oluvchini mustahkam bilim hamda 
ularning kо‘nikmalarni shakllantirish, mustaqil va erkin fikrlash, bilimlarini 
amalda tatbiq etishga о‘rgatish, iroda va xulq-atvorini shakllantirishdan iborat. Shu 
jumladan matematika fanini o‘qitishda masalaning ahamiyati juda katta bo‘lib, 
bunda o‘quvchilarda matematikaga bo‘lgan qiziqishni orttirish, tayanch va fanga 
oid kompetensiyalarni shakllantirish uchun ta’lim jarayonida amaliy va nostandart 
xarakterdagi masalalardan foydalanish maqsadga muvofiq. Bunday masalalarni 
yechish o‘quvchilarda analiz, sintez, analogiya, umumlashtirish, deduksiya va 
induksiya kabi mantiqiy mushohada yuritish faoliyatini, intuitsiya, egiluvchanlik 
va moslashuvchanlik kabi fazilatlarni rivojlantirib, o‘quvchilarni olingan natijalar 
ustida tanqidiy fikrlashga o‘rgatadi.
Berilayotgan uyga vazifalar ko’p holatlarda misollarni yoki masalalarni 
yechib kelish, o’qib o’rganib kelish kabi topshiriqlar beriladi, bu esa o’quvchilarda 
vazifalarning ko’p berilayotgandek unchalik fanga kirishlariga to’sqinlik qiladi. Bu 
uyga berilayotgan vazifalarni ham pedagogik texnologiyalar yoki metodlar orqali 
berish o’quvchilarni fanga yanda qiziqishlariga olib keladi.
Demak darslarda axborot kommunikatsiya texnologiyalari yordamida olib 
borish o’quvchilarni darsda befarq bо‘lmaslikka, mustaqil fikrlash, ijod etish va 
izlanishga majbur etishi, kompyuter savodxonligini oshishiga, adabiyotlar 
o’qishiga, qiyin o’zlashtiruvchi o’quvchilarning kamayishiga hamda о‘zi tanlagan 
kasbiga bо‘lgan qiziqishlarini kuchaytirish orqali egallanishi lozim bo’lgan 
bilimlar hajmining oshishiga olib keladi.