Moluch 114 c indd

Теорема 1. Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над ^{пространством Wm} ^T  ^равен
2 n

N
2
^{ } ^x ^{/ Wm*} ^T  2 ^{= pˆ } _{ }^{c }

N 2 n
0 
| | q  =1





p_k

j
^N n
2
^

^^2 2m _
^  _{ }c^ (2i)^ (_k
₎ _e2i (k , x )
_k 2m _,
(6)

k 0
||q  =1
j =1


где c^

• 
  коэффициенты, x^{ } — узлы кубатурной формулы (1) и
  

p^ˆ_k

• 
  коэффициенты Фурье функции
  

p(x) , т. е.

p^ˆ_k = _ p(x)e^2i(k,x)dx .
T_n
Справедлива следующая
^{Теорема 2. Функция u} ^x ^{= pˆ}
_{  c} _{ 12 }^2m _ˆ ( ) _e2i (k , x) _k ^2m

N
0 
| | q  =1
k
k 0



2

n
^{является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и u} ^x ^{=  (x) Wm} ^T  ^.

^{На основании теоремы 1 функционал погрешности (4) кубатурной формулы (1) для функций из класса W m} ^T 

имеет оценку: [4]
2 n

 ^₀

k



k
12 12

N



2

k
^{< , f} ^x ^{>   fˆ}
 _ f^ˆ
2 _2k 2m ^
_ ^ _ˆ ^  ² _{ ˆ} ^  ² _2k ^{2m }


Литература:
k 0
  ^{k 0} 

1. 
   Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.— 808с.
   
2. 
   Рамазанов, М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973.— 173с.
   
3. 
   Салихов, Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985.— 104 с.
   
4. 
   Шарипов, Т. Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования. Диссертация кандидата физ.— мат. наук. Ташкент, 1975.— 102 с.
   

2
Постановка задачи для построения оптимальной интерполяционной формулы в пространстве С. Л. Соболева непериодических функций L^(m) (0,1)

Маматова Нилуфар, кандидат физико-математических наук, доцент; Меражова Шахло Бердиевна, старший преподаватель
Бухарский государственный университет

В
математике и ее приложениях постоянно приходится иметь дело с приближенными представлениями функций. Классическими аппаратами таких представлений являются многочлены и рациональные дроби.
Пусть даны N  1 пары (x_i , y_i ) , i  0,1,..., N .
Проблема интерполирования состоит в нахождении функции   (x) такой, что
(x_i )  y_i ( i  0,1,..., N ),
^{и  интерполирует} ^yi  ^{в узлах} ^xi  ^{. Говорят о полиномиальном интерполировании, если  является}
алгебраическим полиномом, тригонометрической аппроксимации, если  — тригонометрический полином, или кусочно-полиномиальной интерполяции (или сплайн-интерполяции), если  является только локально полиномиальным.

Задача полиномиальной интерполяции — найти полином такой, что
_m (x) , называемый интерполяционным полиномом,

 (x )  a x^m  ...  a x  a  y ,
i  0,..., N .

m i m i 1 i 0 i
Точки x_i называются узлами интерполяции.
Многочлены обладают рядом недостатков, как аппарат приближения для функций с особенностями и функций с не слишком большой гладкостью.
В этой работе рассматривается постановка задачидля построения интерполирования в пространстве Соболева

2
L^(m) (0,1) непериодических функций, у которых обобщенные производные порядка m интегрируемы с квадратом.
Значение
N

(x)  P_ (x) = (x)  _C_k (x)(x_k )
k =0
ошибки интерполяционной формулы в некоторой точке z есть функционал над классом функцией  :



^𝑙,  ^{= (z)  P (z) = (z) } _^{Ck (z)(xk ),}
k =0

(1)

где
N

𝑙(x)=  (x  z)  _C_k (z) (x  x_k )
k =0
функционал погрешности интерполяционной формулы


P_ (x) ,


C_k (x) – коэффициенты, а
(2)


x_k –узлы

интерполяционной формулы (1), 0  x < x < ... < x  1 ,  (x) –дельта-функция Дирака, (x)  L^(m) (0,1) .
0 1 N 2
Коэффициенты C_k (x) связаны линейными условиями

(𝑙(x), x^ ) = 0,  = 0, m 1.

2
Функционал 𝑙(x) -ограниченныйи линейный в пространстве L^(m) (0,1) , а его норма определяется равенством
(3)

2
 𝑙 | L^(m)* (0,1) =
sup

2
|L^{(m )} (0,1)=1
| (𝑙,) | .

Следовательно, оценка погрешности интерполяционной формулы
P_ (x)
на функциях пространства
L^(m) (0,1)

2

2
сводится к нахождению нормы функционала (2) в сопряженном пространстве L^(m)* (0,1) .
Итак, для оценки погрешности интерполяционной формулы (1) достаточно решить следующую задачу.

Задача 1. Найти норму функционала погрешности
P_ (x) .
𝑙(x)
рассматриваемой интерполяционной формулы

2

2

𝑙
Эта задача решается в случае, когда существует так называемая экстремальная функция интерполяционной формулы, т. е. такая функция  _𝑙 (x) , для которой выполняется следующее равенство

(𝑙, _𝑙
) = 𝑙 | L^(m)* (0,1) 
| L^(m) (0,1) .

Очевидно, что норма функционала погрешности 𝑙(x) зависит от коэффициентов C_k (x) и узлов x_k . Если
∘
 𝑙 | L^(m*) (0,1) = _inf  𝑙 | L^(m)* (0,1) , (4)
2 2
C_k ( z ), x_k

тогда функционал
∘
𝑙(x)
называетсяоптимальнымфункционалом погрешности, а соответствующуюая

интерполяционная формула–оптимальной интерполяционной формулой.
Таким образом для того чтобы построить оптимальную интерполяционную формулу надо решить следующую задачу
∘ ∘
^{Задача 2.Найти такие значения C}k ^{(z) и x}k ^{, чтобы выполнялось равенство (4).}

∘ ∘
^Ck ^{(z) и x}k
соответсвенно называются оптимальными коэффици-ентами и оптимальными узлами

интерполяционной формулы (2.1).

Литература:

1. 
   Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул.— М.: Наука, 1974.—808 с.
   
2. 
   Шадиметов, Х. М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева. Дис. докт. физ.— мат. наук.— Ташкент, 2002.—218 с.
   
3. 
   
   2
   Хаётов, А. Р. Об оптимальных интерполяционных формулах в пространстве ^{W (m,m1) (0,1)} // Узб. матем.
   

журн.— Ташкент, 2010. № 2.— с. 173–179.