Moluch 114 c indd

Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле

Жалолов Озоджон Исомидинович, кандидат физико-математических наук, доцент; Жалолов Исломжон Фарходович, студент
Бухарский государственный университет



N

_Рассмотрим кубатурную формулу вида

^p ^x ^f ^x ^{dx } _
Kn  1
c_ f _x^ _
(1)

p n
^{над пространством Соболева Lm} ^K  ^{, где K — n -мерный единичный куб.}
n
Обобщённая функция

^{𝑙 N} ^x ^{ p} ^x^K




n
(x)  _
 1
c  _x  x^ _

(2)


называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1),

_N
^x^{, f} ^x ^ _
K_n
^p ^x ^f ^x ^{dx } _N ^{c f} _^x _


 1

является погрешностью кубатурной формулы (1),
^p ^x ^{ Lp} ^Kn  ^{весовая функция, K}
^x ^{— характеристическая}

n 

n
^{функция K , c и x — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и } ^x ^{— дельта-функция Дирака.}

p n
^{Определение. Пространство Lm} ^K  ^{— определяется как пространство функций заданных на n -мерном}
единичном кубе K_n и имеющие все обобщённые производные порядка m , суммируемые со степенью p в норме (см. [1])


1
_{ } p _{ p}

^ _  _!
^m
^{  m!} _  _^{2  2 }

^f ^x ^Lp
^Kn 
^ _{  } ^{D f} ^x
_Kn _^{ m}
_ dx_ ,

^{ }

(3)

 

где D^|| 
m


dx^1 dx^2 ...dx^{n , }



 _ _j ,
 !  ₁!₂
!..._n !.

1 2 n
Справедлива следующая
j1

Лемма. Если для функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) выполняется условие
Декартовых произведений, т. е.

1 2

n
^N ^x ^N ^x1 ^N ^x2 ^{ ...N} ^xn 

и
^𝑙 ^x  ^Lmi ^* ^0,1 ^{ d
1} , d - константы, (4)

N_i i p


т. е.

N
^𝑙 ^x  ^Lmi ^* ^0,1
ⁱ m_i ⁱ
i


 d O _h^mi _,
d - константы, _i  1, n_, (5)

N_i i p i i
то

^𝑙 ^x
_L^m^* _K
 ^{ d 
1} , d - константа, (6)

^{N p n} n _m

или
^𝑙 ^x


_L^m^* _K
 N ⁱ

i
i1



N p n
_  d  O _h^m _,

где 𝑙
^x  ^{ p} ^x ^ ^x  ^{ c}
 _x  x^{i } _, d  _
n
и m  m  m  ...  m .

N_i
N_i i i k_i i
^ _i i i
_i 1
i
i1
1 2 n

С помощью этой леммы легко доказывается следующая теорема.

Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при
n
N₁  N₂  ...  N_n ,

i
 N  N
i 1
и m₁  m₂  ...  m_n  m является оптимальной по порядку сходимости над пространством

p n
_L^m _K
, т. е. для нормы функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) имеет место равенство

Из теоремы Н. С. Бахвалова [3] и неравенство (8) следует доказательство сформулированной теоремы. Литература:

1. 
   Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул.— М.: Наука, 1974–808с.
   
2. 
   Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Наука. 1988,— 333с.
   
3. 
   Бахвалов, Н. С. С Оценки снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной, Мат. заметки, 1972, т. 2. № 6,— С.655–664.
   

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида в пространстве С. Л. Соболева

Жураев Зариф Шарипович, преподаватель; Шафиев Турсун Рустамович, преподаватель Бухарский государственный университет (Узбекистан)





N

_Рассмотрим кубатурную формулу общего вида

^p ^x ^f ^x ^{dx } _
Tn  q  =1
^1 ^{c f } _^x _^,
(1)

над пространством С. Л. Соболева
^Wm ^T  ^{. Здесь, соответственно, c}
_{и x}^ 
являются коэффициентами

2

n


^{и узлами кубатурной формулы (1), p} ^x ^{— весовая функция,
f} ^x ^{Wm} ^T  ^{, T — n -мерный тор и  — порядок}

обобщенных производных и 0  q  m 1 .
2 n n

Определение 1. Множество называется n -мерным тором T_n .
T_n = {x = (x₁ , x₂ ,...x_n ); x_k = {t_k }, t_k  R} , где {t_k }= t_k [t_k ] , т. е. дробная доля
t_k ,

2

n
^{Определение 2. Пространство Wm} ^T  ^{— определяется как пространство функций, заданных на n - мерном торе}
T_n и имеющих все обобщенные производные порядка m суммируемые с квадратом в норме [1–4]

  ²

2
f _x_ / W^{~ m} _T _ 2 = _ f _x_ dx_  _ 2k ^2m f^ˆ ,

(2)




^{2 n} 
 ^T_n
k
_ k 0

со скалярным произведением

  

^{< f} ^x^, ^x ^> _m ⁼ _{ }^{D f} ^x ^{D } ^x ^{dx } _{ }
 
^
f ^x ^dx_{  }^ ^x ^dx_ ^,
(3)

2 n _Tn   q
 ^T_n
  ^T_n 

k

f
где
^ˆ — коэффициенты Фурье, т. е.
f^ˆ =
_{ f xe}2i (k , x) _{dx .}
T_n

k
Разность между интегралом и кубатурной суммой, т. е.
N
^  ( ) ( )
_ ^p ^x ^f ^x ^{dx } _^1 ^{c f (x )=}

_Tn | | q  =1
^ N  ( ) ^  ^

^ 

⁼ _{ } ^p ^x^_Tn ^x ^ _{ }^{c }
(x  x
⁾_ ^f ^x ^{dx = < 𝑙 N}
^x^{, f} ^x ^>

T_n 
| | q  =1 _

называется погрешностью кубатурной формулы (1), и этой разности соответствует обобщенная функция
N

N T_n
^{𝑙} ^x ^{= p} ^x^
^x ^ _{ }^{c () (x  x ),}


||q  =1
(4)

и назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1). Здесь

T

n
функция T_n .
^ ^x

• 
  характеристическая
  

^{Задача построения оптимальных кубатурных формул над пространством Соболева Wm} ^T 

• 
  это вычисление
  

следующей величины:
^{𝑙( )} ^x ^{/ W~ m*} ^T  ⁼

inf

sup


^{< 𝑙} ^x^{, f} ^x ^>
2 n


^f ^x ^{/ W~ m} ^T  ^,
(5)

N 2 n
^{  f} ^x ^{0 N 2 n}

где
_W^m^* _{T }

c_ , x

• 
  сопряженное пространство к пространству
  

^Wm ^T  ^{. Для оценки погрешности кубатурной}

2

n

2

n
формулы необходимо решить следующую задачу.
Задача 1. Найти норму функционала погрешности (4) данной кубатурной формулы.

Сначала мы должны вычислить норму
^{ } ^x ^{/ Wm*} ^T 
^{функционала погрешности  } ^x
в пространстве

N

2

n

N

2

n


^Wm ^T  ^{, а потом если требуется построить оптималную кубатурную формулу, варьируя c}
_{и x}^ 

 = 1, N ,

необходимо решить следующую задачу


Задача 2. Найти такие значения c^


и x^{ } , чтобы выполнялось равенство (5).

N

2

n

N
В настоящей работе занимаемся решением задачи 1 для кубатурной формулы общего вида (1), т. е. вычислением

нормы
^{ } ^x ^{/ Wm*} ^T 
функционала погрешности
^{ } ^x
весовой кубатурной формулы (1) с заданием

производных. Для нахождения нормы функционала погрешности (4) в пространстве
_W^m^* _{T }
используется его

2 n
экстремальная функция.