Moluch 114 c indd

МАТЕМАТИКА

2
Find the coefficients С_β(z) of optimal interpolation formulas in W ^(2,1) (0,1) space

Babayev S. S., teacher
Bukhara State University, Uzbekistan

I
n order to find an approximate representation of a function by elements of a certain finite collection, it is possible to use values of this function at some finite set of points . The corresponding problem is called the interpo-
lation problem, and the points the interpolation nodes.
In the present paper we deal with optimal interpolation formulas. Now we give the statement of the problem of optimal interpolation formulas following by S. L. Sobolev.
Now following we consider interpolation formula of the form
N

 x  P_ x  _C_ x _x_{ }
 0
(1)

where C_ x and x_ ( _0;1_) are coefficients and nodes of the interpolation formula (1), respectively. We suppose that the functions  _x_{ } belong to the Hilbert space

2
W ^(2,1) (0,1)  _ : _0,1_  R |  ' is absolutely continuous and  ''  L (0,1)_ ,
2
equipped with the norm
1

2
 | W ^(2,1) (0,1)

1
_ 1

 _

^ 0
^{ ''(x)   '(x)}2
dx^2


_
(2)

^and ^{ ''(x)   '(x)}2 ^{dx   . The equality (2) is semi-norm and   0 if and only if (x)  c  c ex .}
 ^{0 1}
0
The difference   P_ is called the error of the interpolation formula (1). The value of this error at some point z is the linear functional on functions  ,
N ^ _ N _

^𝑙,  ^{ (z)  P (z)  (z) } _^{C (z) (x ) } _{ }^{ (x  z) } _^{C (z)  (x  x )}_ ^{(x)  dx,}
(3)

 0 _
where  (x) is the Dirac delta-function and



𝑙(x)   (x  z)  _C_ (z)  (x  x_ )
  0
 0
(4)

is the error functional of the interpolation formula (1) and belongs to the space W ^(2,1)* (0,1) . The space W ^(2,1)* (0,1) is the
2 2

2
conjugate space to the space W ^(2,1) (0,1) . By the Cauchy-Schwarz inequality

2
| (, 𝑙) |  | W ^(2,1)
_{ 𝑙 | W} (2,1)* _.

2
the error (3) of formula (1) is estimated with the help of the norm

2
𝑙(x) | W ^(2,1)* (0,1)
= sup

2
 ( x)|W ^(2,1) (0,1) =1
^{𝑙(x),(x)}

of the error functional (4)
Therefore from here we get the first problem.

2
Problem 1. Find the norm of the error functional 𝑙(x) of interpolation formula (1) in the space W ^(2,1)* (0,1) .

2
Obviously the norm of the error functional 𝑙(x) depends on the coefficients C_ (z) and the nodes x_ . The interpolation formula which the error functional in given number N  1 of the nodes has the minimum norm with respect to C_ (z) in the space W ^(2,1)* (0,1) is called the optimal interpolation formula.

2
The main goal of the present paper is to construct the optimal interpolation formula in the space W ^(2,1) (0,1) for fixed nodes
x_ , i.e. to find the coefficients C_ (z) satisfying the following equality
∘

2

2
_{𝑙 | W} (2,1)*
 inf
C_{
𝑙 | W} (2,1)*
(5)

2
Thus in order to construct the optimal interpolation formula in the space W ^(2,1) (0,1) we need to solve the next problem.
Problem 2. Find the coefficients C_ (z) which satisfy equality (5) when the nodes x_ are fixed.
In this work using Sobolev’s [1, 2] method we give the algorithm for finding the coefficients of the optimal interpolation formula (1);
The following main result is valid.

2
Theorem 1. Coefficients of optimal interpolation formula with equal spaced nodes in the space W ^(2,1) (0,1) have the
following form:
_A  ^N _{ N} 


₀ ^z ^ _{ p }^{1  G2} ^{z  h}  ^{ M1  1  N1} _ ^

_{1 } 0

₂ 

h h ^


_e h z


• 
  h ^h
  

_  ^

^ _{p }^{C  G2} ^z ^{ e
 G2} ^{z  h} ^{ e}

^ ^{ 4}

• a e

 ₂  r_{0
 } ,

 

_{A } N

^{ } 


_
N  ^

_ ^z ^ _{ p }^{1  G2} ^{z  h}  ^{ 1}
M₁  ₁
 N_{1 } 

_{1 } 0
^{ 2 C  G} ^{z  h}  ^{ eh }_^G
_z  h _ 1_  G

^{z  h} ^{  1}_^{ ,}

_{p } 2 2 2 _
  1, 2,3,, N 1 ,
^{A } N N  N ^


_N ^z ^ _{ p }^{1  G2} ^{z  h}  ^{ 1 M1  N1} _ ^

_{1 } 0

_ 2 ^


_{h h  e}1h z


1h ^h

_ 1 ^{ }

_{p }^{C  G2} ^{z 1} ^{ e
 G2} ^{z 1 h} ^{ e } _{ 4} ^{ e}
 ₂  r₀

^{ 2} ^

 

1
Where

M 
_e z_

• 
  a^
  

 e^h
_ h_{1  r
} _{1 ,}

1

1

1

1

0
¹ 4 _e^h   _
1  e^h
2^{1 } 2
1 ₁



1
_e1 z h_

N

_{ a} _1
 h₁
 ^ r ^

_ ¹

^1

¹ 4 _1 e^h _
e _e^h   _
²^{1 } 2
_ 0
2^ 1 

1 1 ₁ ¹
where the unknowns a^ , a^ , r ^ , r ^ certain quantities.

References:

1. 
   S. L. Sobolev, V. L. Vaskevich. The Theory of Cubature Formulas. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht (1997).
   
2. 
   S. L. Sobolev, The coefficients of optimal quadrature formulas, in: Selected Works of S. L. Sobolev. Springer, 2006, pp.561–566.
   

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3

Дилмуродов Элёр Бахтиёрович, преподаватель
Бухарский государственный университет (Узбекистан)



В
данной работе рассматривается симметричная трехдиагональная матрица размера 3х3. Используя формулы Кар- дано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа.

Пусть Н гильбертово пространство и
A : H  H линейный оператор с областью определения
D( A)  H . Тогда

множество W ( A) : {( Ax, x) : x  D( A),|| x || 1} называется числовым образом оператора A [1–3].
Пусть C множество комплексных чисел. В пространстве C ³ рассмотрим матрицу вида:

^{ a}11
M : ^ a₁₂
^{a12 0} 

a
^a22 23 ^

 

 ^{0 a23
a}33 ^

размера 3  3 , где комплексные числа.
Положим:
a_ii ,
i  1, 2, 3
произвольные вещественные числа, а
a_ij ,
i  j,
i, j  1, 2, 3
произвольные

p :  ¹ {(a  a )²  (a  a )²  (a  a )²} | a |²  | a
|² ;

0 ₆ 11 22 11 33 22 33 12 23

q :| a |² a  | a |² a  a a a
 ² (a  a  a )³   ¹ (a a
 a a  a a  | a |²  | a |² )(a  a  a ) ;

0 12 33 23 11 11 22 33
₂₇ 11 22 33
₃ 11 22 11 33 22 33 12 23 11 22 33

 : arccos^  ^3q0
 ^{3 } , p

 0 .

⁰ _
2 p_0
p0 _

0
Теорема 1. Если a₁₂  0,
a₂₃  0 то W (M )  _ ₁ ,  _{2 }, то

^{ : 1} ^{a  a
 a}  ^{ 2}
_ p_{0 cos} ^₀ ^{ 2}^{k 1}^ _,
k  1, 2 .

k ₃ 11 22 33 _{3 3}

Доказательство. Найдем собственные числа матрицы M . Для этого мы должны знать решение уравнения:
x³  px  q  0
(1)

где p, q  R . Приведем некоторые сведение о решение этих уравнений. Положим:
D( p, q) : 27q²  4 p³ . Возможны три случая:
Если D( p, q)  0 , то уравнение (1) имеет одно вещественное и два взаимно сопряженных комплексных решения.
Если D( p, q)  0 , то уравнение (1) имеет три вещественных решения и по крайней мере два из них равны:

при q  0 , числа 2
 ^p ,  ^p ,  ^p ;

при q  0 , числа 2

3 3 3
 ^p ,   ^p ,   ^p ;
3 3 3

при q  0 , числа 0, 0, 0 является решениями уравнения (1). Здесь
p  0 .
D( p, q)  0 , т. е. из 27q²  4 p³  0 следует, что

Если D( p, q)  0 , то уравнение (1) имеет три разных решений следующего вида:

x_k : 2

• 
  p _cos   2k _, 3 3
  

k  0,1, 2,

где
 : arccos^  ^3q  ^{3 } , p  0 .
_^ 2 p p ^_
Используя свойства косинуса имеем x₁  x₂  x₀ . Заметим, что:
если , то уравнение (1) имеет два положительные и одно отрицательное решение; если , то уравнение (1) имеет одно положительное и две отрицательные решения;
если p  0 , то все решения уравнении (1) являются вещественными тогда и только тогда когда q  0 .
Собственные числа матрицы M являются нулями характеристического уравнения

 ³  (a  a  a ) ²  (a a  a a  a a  | a |²  | a
|) 

11 22 33 11 22 11 33 22 33 12 23

 | a |² a  | a |² a  a a a  0
(2)

12 33 23 11 11 22 33
Найдем решение уравнения (2).
Делая замену переменных   x  ¹ (a  a

• 
  a ) уравнение (2) перепишем в виде:
  

₃ 11 22 33
 ¹  ³  ¹  ²

_ ^{x } ₃ ^{a11  a22  a33} _ ^ ^{a11  a22  a33} _ ^{x } ₃ ^{a11  a22  a33} _
^{ a}11 ^a22 ^{ a}11^a33 ^{ a}22 ^a33 ^

^{ a} 2 ^{ a} 2 _^{ x  1} ^{a  a
 a} ^{  a} 2 ^{a  a
2} a  a a a
 0 .

12 23 _
3 11 22 33 _ 12 33
23 11 11 22 33

После простых вычислений имеем:
(3)
Обозначая

p :  ¹ {(a  a )²  (a  a )²  (a  a )²} | a |²  | a
|² ;

0 ₆ 11 22 11 33 22 33 12 23

q :| a |² a  | a |² a  a a a
 ² (a  a  a )³ 

0 12 33 23 11 11 22 33
₂₇ 11 22 33

 ¹ (a a  a a  a a  | a |²  | a |² )(a  a  a )
₃ 11 22 11 33 22 33 12 23 11 22 33

0
получим, что уравнение (3) имеет вид x³  p x  q  0 .
Решение этого уравнения имеет вид:

x : 2 cos ^{0  2k} ,
k ₃
k  0,1, 2 .

Здесь 
: arccos^  ^3q0
 ^{3 } , p
 0 .

⁰ _
2 p_0
p0 _

0
В этом случае решение уравнения (2) имеет вид:

 : ¹ (a  a  a )  2 cos ^{0  2k} ,
k  0,1, 2 .

k ₃ 11 22 33 ₃
^{Причем для }_k ^{k  0,1, 2} ^{имеет место соотношение }₀ ^{ }₂ ^{ }₁ ^. Следовательно, имеет место равенство W (M )  _ ₁ ,  _{2 }, где

^{ : 1} ^{a  a}
_{ a   2 cos} ^₀ ^{ 2}^{k 1}^ _,
k  1, 2 .

k ₃ 11 22 33 ₃
Теорема доказана.

Литература:

1. 
   Hausdorff, F. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), pp. 314–316.
   
2. 
   Heydari, M. T. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), pp. 139–143.
   
3. 
   Langer, H., Markus A. S., Matsaev V. I., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numer- ical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), pp. 89–112.