Moluch 114 c indd

n
К оценке погрешности весовых кубатурных формул в пространстве ^{C(m) (T )}

Шафиев Турсун Рустамович, преподаватель; Эшонкулов Хамза Илхомович, преподаватель Бухарский государственный университет (Узбекистан)



П
остановка проблемы оптимизации формул приближенного интегрирования в современном понимании выглядит как проблема отыскания минимума нормы функционала погрешности _N , заданного на некотором пространстве функций. Поэтому вычисление нормы функционала погрешности кубатурных формул на этих пространствах функций
играют важную роль для построения оптимальных кубатурных формул [1–3].
Многомерные кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:

1. 
   бесконечно разнообразны формы многомерных областей интегрирования;
   
2. 
   быстро растёт число узлов интегрирования с увеличением размерности пространства. Проблема 2) требует особого внимания для построения наиболее экономичных формул.
   

Существуют различные принципы построения кубатурных формул. Классический принцип, который относится к ра- боте [1–3] и теоретико — функциональный принцип в теории приближенного интегрирования.

Настоящая работа ведется теоретико — функциональным подходом, поэтому ниже опишем необходимые сведения из этого подхода. Рассмотрим кубатурную формулу вида




^f ^x ^{dx } _N ^{c f} _^x _^,
_  =1
(1)

где  — некоторая область в Евклидовом пространстве Rⁿ , c_ — коэффициенты (веса), а
x^ = _x^ , x^ ,..., x^ _ — узлы кубатурной формулы (1). Погрешностью кубатурной формулы (1) называется
1 2 n
разность

< 𝑙 _N , f
где
>= _

^f ^x ^{dx } _N ^{c f} _^x _ ⁼


 =1

 ^{𝑙 N} _Rn

^x ^f ^dx^,

(2)

𝑙 _N
^x ^{= }
^x ^ _N ^{c } _^{x  x} _^,


 =1

(3)

^0, x ,
 (x) = ^{1, x ,} ,  (x)
 _

• 
  дельта функция Дирака, N — число узлов. В (2) и (3)
  

𝑙 _N
^x

• 
  называется
  

функционалом погрешности кубатурной формулы (1).
^{Пусть функция f} ^x ^{принадлежит некоторому пространству Банаха B , тогда
𝑙 N} ^x


будет функционалом из

сопряженного пространства
B^* . Предполагается, что это пространство компактно вложено в пространство

непрерывных функций, заданных в области  :
^{B  C} ^^.

(4)

Функционал 𝑙 _N
^x ^{заданный на B* линейный и непрерывный, а в силу условия (4) и ограниченный, т. е. имеем:}

< 𝑙 _N , f > 
𝑙 / B^* 
f / B .
(5)

N
Из оценки (5) видно, что качество кубатурной формулы характеризуется нормой функционала погрешности, которая определяется формулой

𝑙 _N
/ B^*

= sup ,

< 𝑙 N , f >
	f / B

|| f |B||0
(6)

и является функцией неизвестных коэффициентов и узлов. Поэтому для вычислительной практики полезно уметь вычислить норму функционала погрешности (6) и оценить ее. Отыскание минимума нормы функционала погрешности по c_ и x^{ } есть задача на исследование функции многих переменных на экстремум. Значения c_ и x^ , реализующие этот минимум, определяют оптимальную формулу. Таким образом, оптимальной кубатурной формулой мы будем считать такую, в которой при заданном числе узлов N функционал погрешности имеет наименьшую норму.
Настоящая работа посвящена для функций n — переменных
^{f (x , x ,...x )} , принадлежащих в пространстве C^{~ (m)} (T ) , т. е.
1 2 n n
f (x , x ,...x ) C^{~ (m)} (T ) , где ^T — n мерных тор.
1 2 n n n

Определение 1. Множество T_n  {x  (x₁ , x₂ ,...x_n );
t_k , называется n — мерным тором T_n [1] .
x_k  {t_k },
t_k  R}, где {t_k }  t_k [t_k ] , т.е дробная доля

Определение 2. Пространство

n
^ 2i ( ,x)
C^{~ (m)} (T )
определяется как замыкание множества конечных рядов Фурье

_ f [ ]e

 f (x)

в полунорме


f (x) | C^{~ (m)} (T )  max _  ^m

_{ ]e}2i ( ,x) _{, (7)}

ⁿ xT_n
n _
f [
 0

где ( , x)  _ 
k 1
k ^xk ^и
f [ ] 
_{f (x), e}2i ( ,x) _{ }
T_{n
f (x) e}2i ( ,x) _dx

т. е. коэффициенты Фурье.

N

Рассмотрим кубатурную формулу.
_ P(x) f (x)dx _C_ f (x^() ) , (8)
_Tn  1
где P(x) — весовая функция, C_ — коэффициенты и x^{( )} — узлы кубатурной формулы (8). Кубатурной формулы (8) сопоставим обобщенную функцию
N

n
𝑙(x)  P(x)_T
(x)  _C_ (x  x^() )
 1
(9)

и назовем ее функционалом погрешности.

n
Здесь  (x) — функция Дирака и _T (x) — характеристическая функция тора ^T_n , т. е.

_Tn

(x)  ^1,

^0,

n

если x T_n если x T_n

Задача построения наилучших кубатурных формул над пространством величины:
C^{~ (m)} (T )

• 
  это вычисление следующей
  

N n
^𝑙 ^x
C^{~ (m)*} (T )

 inf sup

_{c , x}^

^f ^x ^0


, (10)

где C^{~ (m)*} (T ) — сопряжённое пространство к пространству C^{~ (m)} (T ) .
n n
Для оценки погрешности квадратурной формулы необходимо решить следующую задачу.
Задача 1. Найти норму функционала погрешности (9) данной кубатурной формулы (8). Сначала мы должны

вычислить норму
^𝑙 ^x
_C~ (m)* _{(T )}
функционала погрешности 𝑙
^x
в пространстве
C^{~ (m)} (T ) , а потом если

N n

n

N
требуется построить наилучшую кубатурную формулу, варьируя ^C_ и x^ _  1, N _, необходимо решить следующую задачу.
_{0 0} ^

^{Задача 2. Найти такие значения C} ^{и x}
, чтобы выполнялось равенство (10).

В настоящей работе займёмся решением первой задачи для весовой кубатурной формулы (8), т. е. вычислением

нормы 𝑙
^x
_C~ (m)* _{(T )}
функционала погрешности 𝑙
^x ^{кубатурной формулы (8).}

N n N
Справедливо следующая

n
Теорема. Для нормы функционала погрешности (9) кубатурной формулы (8) в пространстве C^{~ (m)} (T ) имеет место

следующего равенства


^ N 2i ( ,x^{( )} )

n
𝑙(x) | C^{~ (m)*} (T )


 inf


P[ ]  _C_ e

|  ^m|
_  1 _e^{2i ( ,x)} _{  dx , (11)}

_Tn  0

где  — произвольное действительное число.

Литература:

1. 
   Соболев, С. Л., Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.— 808с.
   
2. 
   Салихов, Г. Н., Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985–104 с.
   
3. 
   Шарипов, Т. Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования кандидатская диссертация. Таш- кент 1975–102с.