Mishkin 2011. pdf

forward rate

because it is the one-period inter-

est rate that the pure expectations theory of the term structure indicates is

expected to prevail one period in the future. To differentiate forward rates derived

from the term structure from actual interest rates that are observed at time

t,

we

call these observed interest rates

spot rates

.

Going back to the Application Expectations Theory and the Yield Curve

(p. 124), which we used to discuss the expectations theory earlier in this chapter,

at time

t

the one-year interest rate is 5% and the two-year rate is 5.5%. Plugging

these numbers into Equation 4 yields the following estimate of the forward rate

one period in the future:

i

e

t

1

1

0.06

6%

Not surprisingly, this 6% forward rate is identical to the expected one-year inter-

est rate one year in the future. This is exactly what we should find, as our calcu-

lation here is just another way of looking at the pure expectations theory.

We can also compare holding the three-year bond against holding a sequence

of one-year bonds, which reveals the following relationship:

(1

i

t

)(1

i

e

t

1

)(1

i

e

t

2

)

1

(1

i

3

t

)(1

i

3

t

)(1

i

3

t

)

1

and plugging in the estimate for

i

e

t

1

derived in Equation 4, we can solve for

i

e

t

2

:

i

e

t

2

=

1

1

+

i

3

t

2

3

1

1

+

i

2

t

2

2

-

1

1

1

+

0.055

2

2

1

+

0.05

Today

0

1

i

t

Year

1

Year

2

1

i

e

t

1

(1

i

2

t

) (1

i

2

t

)

---

C H A P T E R 6

The Risk and Term Structure of Interest Rates

135

Continuing with these calculations, we obtain the general solution for the forward

rate

n

periods into the future:

i

e

t

n

1

(5)

Our discussion indicated that the expectations theory is not entirely satisfactory

because investors must be compensated with liquidity premiums to induce them

to hold longer-term bonds. Hence, we need to modify our analysis, as we did

when discussing the liquidity premium theory, by allowing for these liquidity pre-

miums in estimating predictions of future interest rates.

Recall from the discussion of those theories that because investors prefer to

hold short-term rather than long-term bonds, the

n

-period interest rate differs from

that indicated by the pure expectations theory by a liquidity premium of

*

nt

. So to

allow for liquidity premiums, we need merely subtract

*

nt

from

i

nt

in our formula

to derive

i

e

t

n

:

i

e

t

n

1

(6)

This measure of

i

e

t

n

is referred to, naturally enough, as the

adjusted forward-rate

forecast

.

In the case of

i

e

t

1

, Equation 6 produces the following estimate:

i

e

t

1

Using the example from the Liquidity Premium Theory Application on page 128,

at time

t

the

*

2

t

liquidity premium is 0.25%,

*

1

t

= 0, the one-year interest rate is 5%,

and the two-year interest rate is 5.75%. Plugging these numbers into our equation

yields the following adjusted forward-rate forecast for one period in the future:

i

e

t

1

which is the same as the expected interest rate used in the Application on expec-

tations theory, as it should be.

Our analysis of the term structure thus provides managers of financial institu-

tions with a fairly straightforward procedure for producing interest-rate forecasts.

First they need to estimate

*

nt

, the values of the liquidity premiums for various

n.

Then they need merely apply the formula in Equation 6 to derive the market s fore-

casts of future interest rates.

=

1

1

+

0.0575

-

0.0025

2

2

1

+

0.05

-

1

=

0.06

=

6%

=

1

1

+

i

2

t

-

*

2

t

2

2

1

+

i

t

-

1

(1

i

n

1

t

*

n

1

t

)

n

1

(1

i

nt

*

nt

)

n

(1

i

n

1

t

)

n

1

(1

i

nt

)

n

---

136

PA R T I I

Financial Markets