Mirzo Ulugʻbek nomidagi Oʻzbekiston Milliy universiteti

To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi

Agar

a,bkesmani

n

ta

bo‘laklarga

bo‘lish

natijasida

hosil

qilingan

xi1 , xi 

xi
oraliqqa mos keluvchi  f (x)
xi 1

[xi1 , xi ] oraliqqa mos keluvchi

dx integralni olsak, u egri chiziqli trapetsiyaning

i-bo‘lakchasining yuzidan iborat ekanligi va uning

taqribiy qiymati sifatida

6. 
   (i )  hi
   

qiymatni qabul qilish mumkinligi ma’lum. Bu yerda h_i=x_i-x_i-1 , i [xi1, xi ] kesmadan olingan ixtiyoriy nuqta. Qilingan bunday mulohaza asosida (2.1.2) dan

36

b	n
 f (x)dx   f (i )hi		(2.1.3)
a	i1

integralni taqribiy hisoblash formulasiga ega bo‘lamiz. Bu integralni taqribiy hisoblashda to‘g’ri to‘rtburchaklar usulidan foydalanamiz.

2.1.2-chizma. Egri chiziqli trapetsiya yuzi bo’laklarga bo’lingan.

Agar i  xi1 deb olinsa	f (i )  уi1	bo‘lib, (2.1.3) dan
b	n
 f (x)dx   yi1hi			(2.1.4)
a	i1
chap to‘g’ri to‘rtburchaklar, agar i		 xi	deb olinsa f (i )  ói bo‘lib, (2.1.4)
dan
b	n
 f (x) dx   yi hi			(2.1.5)
a	i1

o‘ng to‘g’ri to‘rtburchaklar formulalariga ega bo‘lamiz, bu yerda y_i=f(x_i), ( i =0,1,2,…,n).

Agar a,b kesmani n ta teng bo‘laklarga bo‘lsak qadamlar h  ^{b }_n ^a bir xil bo‘lib, (2.1.4) va (2.1.5) lardan

b	b  a				n			n
 f (x)dx 				 yi1  h  yi1
a		n		i1			i1
b		b  a				n		n
 f (x)dx 						 ^yi ^ ^h  ^yi
		n
a						i1		i1
			37

ko‘rinishdagi to‘g’ri to‘rtburchaklar formulalariga ega bo‘lamiz, h integrallash qadami deb yuritiladi.

2.1.3-chizma. To’g’ri to’rtburchak formulasining dasturi va grafigi.

Trapetsiyalar formulasi
Bu formulani olish uchun a, b kesmani h=(b-a)/n qadam bilan n ta bo‘laklarga bo‘lish natijasida hosil qilingan egri chiziqli trapetsiya har bir bo‘lakchasining yuzini, quydagi rasmdagidek, trapetsiyalar yuzi bilan taqribiy almashtiriladi.

2.1.4-chizma. Egri chiziqli trapetsiya.

^xⁱ f (x)dx  h[( y_{i 1}  y_i ) / 2]


xi 1

Olingan taqribiy qiymatlarni jamlash natijasida

38

b	b  a 		n1	
 f (x)dx 		( y0	 yn ) / 2  yi 		(2.1.6)
	n
a			i1	

taqribiy formulani olamiz. Bu trapetsiyalar formulasidir.

2.1.5-chizma. Mathcadda trapetsiya formulasining dasturi va grafigi.

Simpson formulasi

Parabolalar (Simpson) formulasi bilan aniq integralni hisoblashni o‘rganamiz.

[a,b] kesmani h=(b-a)/2n qadam bilan 2n ta juft bo‘laklarga ajratamiz. Bo‘linish nuqtalari

x₁, x₂, x₃,…, x_2n-1

1. 
    x₀  x₁  x₂  ...  x_2n1  x_2n  b,
   

Bo‘lganda bu nuqtalarda integral ostidagi funksiyaning у_i  f (x_i ), i  0,1,...,2n mos qiymatlarini topamiz::

• 
  ₀ , у₂ , у₃ ,..., у_2n
  

Integral ostidagi f(x)funksiyani parabola funksiyasi bilan almashtirishda

Nyutonning

interpolyatsiya

formulasi

asosida

39

(x₀ ; у₀ ),(x₁ ; у₁ ),(x₂ ; у₂ ),...,(x_2n1 ; у_2n ) nuqtalarga qurilgan parabolaning quyidagi interpolyatsiya ko‘phadidan foydalanamiz:

2.1.6-chizma. Parabola grafigi.

6. 
   (x)  у₀  tу₀  ¹₂ t(t 1)² у₀
   

bu yerda	t 	x  x0	,	у		 у	 у		, ^2	у		 у	 у		 у		2у у		ekanligidan
					0			0			0			0		2		0
		h				1						1					1

interpolyatsiya ko‘phadi quyidagicha yozamimz:

6. 
   (x)  у₀  t( у₁  у₀ )  ¹₂ t(t 1)( у₂  2 у₁  у₀ )
   

Bu holda [x0 ; x2 ] kesmada f(x) interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz:

х			х			1
^2	f (x)dx ^2			{у0	 t( у1  у0 ) 		t(t 1)( у2  2 у1  у0 )}dx	(*)
х0			х0		2
bu yerda		ó0 , ó1 , ó2 lar x			ga bog’liq emas. Integralni undagi qo‘shiluvchilar
integrallarini	alohida integrallash bilan topamiz:
х			^х^^х^2 у0 (х2  x0 )  у0 (х0  2h  x0 )  2hу0
1) ^2 у0 dx  у0 x
х			хх0
0

2. 
   ikkinchi va uchinchi qo‘shiluvchilarni integrallashda quyidagicha almashtirish qilamiz:
   

t 	x  x 0	dan ht  x  x0 , h dt  dx; x  x0 ,t  0; x  x2 ,t  2
	h

Bu holda
40

^2