Mirzo Ulugʻbek nomidagi Oʻzbekiston Milliy universiteti

Volterra integral tenglamasi.
Ta’rif: Ushbu integral tenglama Volterra1ning 1-tur tenglamasi deyiladi:

^x K (x, y)( y)dy  f (x)	(1.1.15)
a

Bunda (x) – noma’lum funksiya, f(x) –ozod had I( a  x  b ) kesmada, va K(x,y) tenglamaning yadrosi – R( a  x  b , a  y  x ) yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi..

Ta’rif: Ushbu integral tenglama Volterraning 2-tur tenglamasi deyiladi:

(x)  f (x)  ^x K (x, y)( y)dy	(1.1.16)
a

Volterra Vito (1860-1940) – mashhur italyan matematigi.

17
Bunda (x) – noma’lum funksiya integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda. (1.1.1) va (1.1.2) dagi  tenglamaning parametri deyiladi.

Ta’rif: Agar I kesmada f (x)  0 bo‘lsa, (1.1.16)	tenglama quyidagi
ko‘rinishga keladi:
(x)  ^x K (x, y)( y)dy	(1.1.17)
a
Bunday tenglama bir jinsli integral tenglama deyiladi

Integral tenglamada ishtirok etadigan noma’lum funksiya ko‘p argumentli, jumladan ikki argumentli bo‘lishi ham mumkin.

Masalan:

x y
(x, y)  f (x, y)  K (x, y, t1 , t2 )(t1 , t2 )dt1dt2	(1.1.18)

a c

bu yerda f(x,y) funksiya R( a  x  b , c  y  d ) sohada, K(x,y,t₁,t₂) yadro esa P( a  x  b , c  y  d , a  t₁  x , c  t₂  y )sohada berilgan deb hisoblanadi.

3-misol.Ushbutenglamaniyeching: (Buyerdaketma-ketyaqinlashishusulidanfoydalanamiz).


ux  x  ^x t  xut dt,

0

bunda


f x  x va   1

Endi quyidagi munosabatlardagi hadlarni hisoblab chiqamiz:

u0 x  f x  x;

x

t ^3

t ^2

t x

x^3

x^3

x^3

u1 x  t  xtdt 



 x







 

;

2

3

2

3!

0

 ^3

t 0

x				t ^3			x^5
					
u2 x  t  x				3!		dt  ;
0								5!
	18

x			t ^3		x^5
				
u3 x  t  x			5!	dt  ;
0					7!

va hokazo. Bu ifodalarning hosil bo‘lishidagi qonuniyat ko‘rinib turibdi. Ularning yig‘indidsini hisoblasak, izlanayotgan yechim hosil bo‘ladi:

ux  x  ^x3  ^x5  ^x7  ...  sin x

3! 5! 7!

4-misol. Ushbu tenglama rezol’venta yoradami bilan yechilsin:

ux  x  ^x t  xut dt,

0

Topamiz:

K1  K x, t   t  x  x  t 

K 2 x, t   ^x x  ss  t ds  ^x x  sx  s  t  xds  ^x x  sx  t  x  sds

t

t

t

 ^x x  sx  t  x  sds  x  t ^x x  sds  ^x x  s^2 ds  x  t

^

1

x  s^2 ^ ^x



1

x  33

x

3

t

t

t

2

st

st



1

x  t ^3



1

x  t ^3 

x  t ^3

3!

2

3

Xuddi shu usulda K3 x, t 

ni topamiz:

K3 x, t   

^xx  s

s  t ^3

dt  

1

^xx  t  s  t s  t ^3 ds  

x  t ^5

3!

5!



3!



t

t

va hokazo bularni x, t,   K1 x, t  K 2 x, t  ^2 K3 x, t  ... formulaga qo‘yib

rezol’ventani topamiz:

x, t,   x  t 

x  t ^3



x  t ^5

 ...  sinx  t 

3!

5!

U holda berilgan tenglamaning yechimi

ux  x  ^x sinx  t tdt

0

bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralni hisoblab quyidagi natijani olamiz:
19

ux  sin x

20

1.2 Zamonaviy matematik paketlarning imkoniyatlari va kamchililklari, qo`llanish sohalari. Mathcad dasturi

Ma’lumki, matematika fani tabiat va jamiyatda kechayotgan jarayonlarni o`rganish va tahlil etishda asosiy vositalardan biri sifatida e’tirof etiladi. Ushbu vositalarning imkoniyatlaridan samarali va tez suratlar bilan foydalanishni kompyuter texnologiyalari yutuqlarisiz tasavvur etib bo`lmaydi. Masalan, ko`p holatlarda vujudga keladigan matematik muammoni tez va berilgan aniqlikda hal etish uchun professional matematikdan o`z kasbi bilan bir vaqtda ma’lum bir algoritmik tilni bilishi talab qilinar edi. Lekin muammo shundaki, matematiklar ichida dasturlash muhitlarining imkoniyatlaridan yaxshi voqif bo`lmaganlari ham yo`q emas. Ushbu muammolarni bartaraf etish uchun XX asrning 90-yillari boshiga kelib matematiklar uchun ancha qulayliklarga ega bo`lgan matematik sistemalar yaratila boshlandi.

Professional matematik paketlar deganda, odatda hozirgi zamon kompyuterlarida qo’llanilayotgan Mathematica, Maple, Matlab, Derive, Mathcad kabi tizimlar va qiymatlarni statistik tahlil qilishga mo`ljallangan SSPS, Statistica, Statgraphics, Stadia vashunga o`xshash tizimlar oilalari nazarda tutiladi. Bu paketlar yordamida turli sonli va analitik (simvolli) matematik hisoblarni, oddiy arifmetik hisoblashlardan tortib, to xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish, optimallash masalalarini hal etish, statistik gipotezalarni tekshirish hamda matematik modellarni yaratishga qadar turli zarur texnik hisoblashlarni amalga oshirish mumkin. Ularning barcha takomillashgan ilmiy grafika vositalariga, qulay yordamchi axborot tizimiga va hisobotlarnirasmiylashtirish vositalariga ega. «Professional paket» atamasi «o`quv paketi» atamasiga muqobil ravishda tanlangan.

Hozirgi davrda bu paketlardan nafaqat oliy malakali mutaxassislar, professional o`qituvchilar, balki oliy maktab talabalari, hattoki, litseylar, kasb-hunar kollejlari va maktablar o`quvchilari ham foydalanayotganligini kuzatish mumkin.

Professional matematik paketlardan foydalanishning ommalashishiga asosiy ob’ektiv sabablar quyidagilar:

kompyuterlar odatdagi uy jihozlari qatoridan o`rin olib bormoqda;

kompyuter dasturlari interfeysini tashkil etishda maxsus standartlar ishlab chiqilib, ulardan ommaviy ravishda foydalanlmoqda;

21
hozirgi zamon talabasi, ilmiy xodimi va mutaxassisi hayotida Internet turidan foydalanish kundalik ehtiyojga aylanmoqda;

talabalarga bilim berishda professional matematik paketlardan o`quv vositasi sifatida foydalanish darajasi oshmoqda;

fundamental va amaliy xarakterdagi ilmiy tadqiqotlar bilan shugullanuvchilar uchun mos universal matematik paketlar yaratilmoqda va bu paketlar ilmiy tadqiqot natijalariga ijobiy ta’sir ko`rsatmoqda;

Professional matematik paketlar bo`yicha maxsus adabiyotlar ko`paymoqda.

Ushbu sistemalar quyidagi ko`rsatkichlar bo`yicha doimo raqobat qilib keladi:

Nazariy materialni chuqur va har tomonlama o`rganish uchun o`quvchiga qulay imkoniyatlar yaratish;

Kuchli analitik va grafik imkoniyatlarga tayangan holda matematik muammolarni tez va oson yechishda o`quvchiga samarali yordam ko`rsatish; Nostandart matematik muammolarni hal etish uchun o`zining maxsus

algoritmik tiliga ega bo`lishi va h.k.

Hozirgi kunda o`rta ta’lim muassalarini zamonaviy kompyuter texnologiyalari va dastur ta’minotlari bilan ta’minlash tez suratlar bilan kechmoqda. Bu holda EHMning apparat va dastur ta’minotlarining o`zaro uyg`unligi katta ahamiyatga ega. Shu sababli, o`rta ta’lim muassasalarida matematika o`qitishning zamonaviy usuli sifatida Mathcad imkoniyatlaridan foydalanishni qisqacha bayon etamiz.

Mathcad (Excel ning ham) ning boshqa hisoblash paketlaridan afzalligi shundan iboratki, Mathcad o`rta murakkablikdagi masalalarni yechishda maxsus kompyuter va matematik tayyorgarlikni talab qilmaydi. Agar Mathcad paketida uzoq vaqt ishlanmasada, u bilan ishlash saboqlari unutilib ketmaydi va zarur holatlarda yuzaga kelgan masalalarni yechishga darxol kirishib ketiladi. Mathcadning “raqobatchi”larida esa, aniq va noaniqlarida uzluksiz shug`ullanishni talab etiladi, aks holda ishlash savodini qayta tiklash yetarli darajada qiyinchiliklar tug`diradi.

50. 
    asrning oxirlaridan boshlab hozirgi kunga qadar shaxsiy kompyuterlarda juda samarali joriy qilinayotgan kompyuter algebrasi tizimlari muayyan tizimlarni tadqiq etish uchun amaliy dasturlar yaratishda yangicha texnologiyalarni qo`llash imkoniyatlarini ochib berdi.
    

Maple tizimining birinchi avlodi 1980 yili Kanadaning Waterloo universiteti mutaxassislari Keyt Ged va Gaton Gone tomonidan katta EHMlar uchun

22
yaratilgan. 2000 yil dekabr oyining oxirida esa Maple 6 tizimi yana shu Kanadaning Waterloo universitetida yaratildi. 2004 yil 7 aprelda esa Maple 9.5

tizimi yana shu Kanadaning Waterloo universitetida yaratildi. Bu tizim iqtisodiyot, mexanika, matematika, fizika, muxandislik va h.k. yo`nalishdagi masalalarni yechishda matematikaning analitik hamda sonli usullarini qo`llashni amalga oshiradi. Shuning uchun hozirgi kunda ham Maple 6, Maple 7, Maple 8, Maple 9.5 tizimlaridan keng foydalanib kelinmoqda. Kompyuter algebrasi tizimlari hisoblash tizimlari uchun qo`llaniladigan "kompyuter intellekti" tushunchasini mazmun va mohiyatini amalda namoyish qilish imkoniyatini yaratdi. Bu tizimlar amaliy dasturlar ta’minotini yaratuvchi mutaxassislar uchun quyidagi vositalarni yaratadi[1]:

yuqori saviyadagi dasturlashtirish tizimi;

hujjatlar va dasturlarni yaratish hamda tahrirlash imkoniyatini beruvchi redaktorlar;

foydalanuvchilar uchun bevosita muloqot asosida ishlash imkoniyatini beruvchi zamonaviy ko`p oynali interfeys;

yuqori saviyadagi ma’lumotnoma tizimi;

matematik ifodalarni qayta ishlovchi algoritm va qoidalar majmuasi; analitik va sonli amallarni bajaruvchi dasturiy protsessor;

muloqot jarayonida sodir bo`ladigan xatoliklarni ko`rsatuvchi diagnostika tizimi;

tizimning bevosita yadrosiga biriktirilgan funksiyalar kutubxonasi;

tizimni qo`llash va matematik usullarni tatbiq qilish uchun kerak bo`ladigan paketlar majmuasi.

Bu vositalar amaliy dasturiy ta’minot yaratishdagi masalaning matematik

modelini keltirib chiqarish, hisoblash usullarini tanlash, hisoblash eksperimentlarini o`tkazish va natijalarni tahlil qilish jarayonini to`liq avtomatizatsiyalash imkonini beradi. Bu esa, amaliy dasturlar ta’minotni tashkil qilishning tamoyillarini va masalalarni EHMda yechishning an’anaviy texnologiya doirasida qo`llanilib kelgan usullarini tubdan o`zgartiradi.