Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali

Tor tebranish tenglamasi uchun aralash masalani taqribiy yechish.
Tor tebranish tenglamasi uchun aralash masalani ko’ramiz.
Ya’ni
(10.38)
tenglamani
u(x,0) = f(x), u_t(x,0) =(x), 0  x  s (10.39)
boshlang’ich shartlarni va
u(0,t)= (t), u(s,t) = (t), 0  t < (10.40)
CHegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi funktsiyasi topish masalasini yyechamiz.
(10.38) tenglamada =at belgilash kilib, uni quyidagi ko‘rinishiga keltiramiz:
(10.41)
Keyinchalik a = 1 deb olsak bo‘ladi.
t>0, 0  x  s
yarim qatlamda
x=x_i=ih, i = 0, 1, 2, … , n
t=t_j = j h, j = 0, 1, 2, …., n
To’g’ri chiziqlar oyilasini quramiz. (10.41) tenglamada hosilalarni ayirmalar nisbatan bilan almashtiramiz.
Hosilalar uchun simmetrik formulalardan foydlanib,
(10.42)
ayirmalar tenglamasini topamiz. Bu yerda  =l/h belgilash qilib, (10.42) tenglamani quyidagicha yozamiz:
u_{i,j + 1} = 2 u _{i, j} - u _i,j-1+²(u_i+1,j-2u_ij + u_{i-1, j}) (10.43)
(10.43) tenglamaning  1 bo'lganda turg’un ekanligi isbotlangan.
(10.43) tenglamada =1 bo'lganda tenglamaning soddalashgan holini topamiz.:
u_{i,j + 1} = u_{i + 1, j} + u_i-1,j - u_i,j-1 (10.44)
(10.43) tenglama bilan 0  x s, 0 t  T qatlamda topilgan taqribiy echimning hano;igi quyidagicha boholanadi.

Bu yerda, - aniq yechim,

(10.43) tenglamani hosil qilish uchsun 8-rasmdagi tugunlar sxemasidan foydalanilganini ko’ramiz. Bu oshkor sxema bo‘lib, agar oldingi ikki qatlamdagi qiymtalr ma’lum belsa, (10.43.) tenglama t_j+1 qatlamdagi u(x,t) funktsiyaning qiymatini topishga imkon beradi.